Как сделать умножение смешанных дробей
Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).
Формула умножения дробей:
Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.
Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!
Деление обыкновенной дроби на дробь.
Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.
Формула деления обыкновенных дробей:
Умножение дроби на натуральное число.
Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.
Деление дробей с участием натурального числа.
Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:
Умножение смешанных дробей.
Правила умножения дробей (смешанных):
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем дробь;
- если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Второй способ умножения дроби на натуральное число.
Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.
Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.
Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Многоэтажные дроби.
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.
Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:
Практические советы при умножении и делении дробей:
1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.
2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.
3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.
4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.
Обратите внимание, если в ответе получается неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть.
Если мы умножаем на натуральное число, которое можно сократить с числом, стоящим в знаменателе, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).
| Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей. |
Если мы перемножаем дроби, у которых можно сократить числитель первой и знаменатель второй дроби и (или) знаменатель первой и числитель второй дроби, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).
Умножение смешанных чисел
| Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. |
Для обыкновенных дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства умножения (переместительное свойство умножения, сочетательное свойство умножения, распределительные свойства умножения относительно сложения и относительно вычитания). Также при умножении дроби на ноль (или нуля на дробь) получаем ноль, и при умножении дроби на единицу (или единицы на дробь) получим равную ей дробь.
| Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно представить смешанное число в виде неправильной дроби, а затем воспользоваться правилом умножения дроби на натуральное число или можно умножить целую часть на натуральное число, далее умножить дробную часть на натуральное число и полученные произведения сложить. |
Нахождение дроби от числа
| Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. |
Примеры:
а) Найти от числа 20.
Решение:
б) Найти 0,6 от числа 9.
Решение:
в) Найти 30 % от числа 500.
Решение:
1) 30% = 30 : 100 = 0,30 = 0,3
Взаимно обратные числа
| Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. |
Примеры:
1) , значит, числа - взаимно обратные;
2)
Чтобы определить число обратное смешанному числу, нужно представить это смешанное число в виде неправильной дроби.
Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.
Умножение обыкновенной дроби на дробь.
Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.
Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.
Умножение дроби на число.
Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \( \bf n = \frac\) .
Воспользуемся этим правилом при умножении.
Неправильную дробь \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac= 2\frac\\\) перевели в смешанную дробь.
Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:
Умножение смешанных дробей.
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.
Умножение взаимно обратных дробей и чисел.
Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.
Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.
Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.
Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.
Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac \times \frac\) б) \(\frac \times \frac\)
Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac\) б) \(\frac \times 11\)
Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac\)?
Ответ: \(\frac = 3\)
Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac \times \frac\)
Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?
Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac\) – неправильная дробь. Ответ: нет.
б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac\) , обратная ей дробь равна \(\frac\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.
в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac\), то обратная ей дробь будет \(\frac\). Дробь \(\frac\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac = \frac = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.
Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac\) б) \(1\frac \times 3\frac\)
Решение:
а) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac\\\\ \)
б) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac\)
Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?
Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac = \frac\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac\) . Дробь \(\frac\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.
Итак, можно сделать вывод, что чтобы умножить дробь на число, надо числитель этой дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Задание. Найти произведение $\frac \cdot 4$
Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу
Ответ. $\frac \cdot 4=1 \frac$
Аналогично выполняется умножения числа на дробь.
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Найти произведение 3$\cdot \frac$
Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу
Ответ. $3 \cdot \frac=\frac$
Умножение дробей
Произведением дробей называется такая дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель - произведению их знаменателей:
Таким образом, чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй и результат записать в числитель; а также перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.
Замечание. При выполнении умножения по возможности следует сокращать. Сокращать можно только числа стоящие в числителе с числами, стоящими в знаменателе. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем сокращать нельзя.
Задание. Найти произведение дробей $\frac$ и $\frac$
Решение. Выполним умножение дробей по описанному выше правилу
Ответ. $\frac \cdot \frac=\frac$
Задание. Умножить $\frac$ на $\frac$
Решение. Необходимо найти произведение $\frac \cdot \frac$ . Как видим, числа 13 и 39 можно сократить на общее число 13. Для этого сами указанные величины зачеркиваем, а над ними пишем число, которое получается после деления. Аналогично поступает со знаменателем первой дроби и числителем второй:
Ответ. $\frac \cdot \frac=\frac$
Умножение смешанных дробей
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно представить их в виде неправильных дробей, а затем уже выполнить умножение как обыкновенных дробей.
Задание. Найти произведение дробей 3$\frac \cdot 4 \frac$
Решение. Выполним умножение смешанных дробей по описанному выше правилу
Ответ. $3 \frac \cdot 4 \frac=14 \frac$
Для умножения смешанной дроби на целое число поступают либо аналогично и далее умножают дробь на число, либо на целое число отдельно умножают целую часть, и отдельно дробную часть смешанного числа.
Задание. Умножить смешанную дробь 3$\frac$ на 2
Решение. Выполним умножение смешанной дроби на число по описанному выше правилу
Читайте также: