Как сделать равносильное уравнение

Добавил пользователь Валентин П.
Обновлено: 31.08.2024

Пусть даны два уравнения:

$f_1 (x) = f_2 (x)$, (1)
$\phi_1 (x) = \phi_2 (x)$. (2)

Уравнение (2) назовем следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является также корнем уравнения (2), иначе говоря, если множество корней уравнения (1) входит во множество корней уравнения (2).

Пример. Рассмотрим два уравнения:

$x + 1 = 3, x^ + 2x + 1 = 9$

(второе, как легко заметить, получено возведением обеих частей первого уравнения в квадрат).

Второе уравнение является следствием первого; в самом деле, число 2 есть единственный корень первого уравнения и, как легко проверить, является корнем также и второго уравнения; между тем число (—4) служит корнем второго уравнения, но не является корнем первого уравнения. Итак, по определении), второе уравнение есть следствие первого уравнения.

Переход от одного уравнения к другому, являющемуся его следствием, удобен, если это новое уравнение проще решить. В этом случае, найдя все его корни, мы подстановкой этих корней в исходное уравнение проверим, какие из них ему удовлетворяют, и тем самым найдем все его решения. На этом приеме основано, например, решение некоторых иррациональных уравнений.

Еще более существенным является понятие равносильности двух уравнений.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если каждое из них является следствием другого. Иными словами, уравнения называются равносильными, если множества их корней в точности совпадают.

Ясно, что два уравнения, порознь равносильные третьему, равносильны друг другу.

Если два уравнения не имеют корней (множества их решений пусты), то их также естественно считать равносильными: все уравнения, не имеющие решений, равносильны между собой.

В процессе решения уравнений часто производятся действия, в результате которых данное уравнение заменяется другим (обычно более простым), ему равносильным. Такой переход от одного уравнения к другому может выполняться на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение (функцию), имеющее смысл во всей о. д. з. данного уравнения, то получится уравнение, равносильное данному.

Иначе говоря, если дано уравнение

$f_1 (х) + \phi (x) = f_2 (x) + \phi (x)$ (4),

где $\phi (x)$ имеет смысл в о. д. з. уравнения (3), равносильно уравнению (3).

Доказательство. При каждом числовом значении $x = x_0$ из о. д. з. равенство

$f_1 (х_0) + \phi (x_0) = f_2 (x_0) + \phi (x_0)$

будет иметь место в том и только в том случае, когда имеет место равенство

множества решений для обоих уравнений совпадают, уравнения равносильны. В частности, если не имеет решений одно из них, то не имеет решений и другое.

Из теоремы 1 вытекает правило о возможности переносить члены уравнения из одной части в другую (с надлежащей переменой знака). Так, уравнение (3) всегда можно записать в равносильной ему форме:

Равносильность уравнений (3) и (5) следует из теоремы 1 (достаточно к обеим частям уравнения (3) прибавить $-f_2 (x)$, но можно обосновать ее и прямо, исходя из определения равносильности уравнений. Если $x_0$ - некоторое значение $x$, входящее в о.д.з. обоих выражений $f_1(x)$ и $f_2 (x)$, то равенство $f_1 (x_0) = f_2 (x_0)$ будет выполняться тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство $f_1 (x_0) - f_2 (x_0) = 0$ (два числа равны, если их разность равна нулю, и обратно).

Если обозначить $f_1(x) - f_2(x)$ через $f (x)$, то уравнение (5) сведется к виду

В дальнейшем, как правило, мы будем уже рассматривать уравнение в этой форме, т. е. с нулевой правой частью.

В порядке предостережения против необдуманного применения теоремы 1 приведем одни простой пример. Уравнение

может быть (перенос членов из одной части в другую) записано в равносильной форме:

не равносильное исходному: оно имеет корень $x = 0$, который не принадлежит о. д. з. уравнения (7) и не является его корнем. Конечно, незаконным здесь был не перенос члена из правой части в левую, а приведение подобных членов, в результате которого изменилась о. д. з. уравнения.

Теорема 2. От умножения обеих частей уравнения на отличное от нуля число $а$ или на выражение $\phi (x)$, которое при всех допустимых значениях $x$ имеет смысл и не обращается в нуль, образуются уравнения, равносильные данному уравнению.

Так, умножив обе части уравнения (3) на $а$ или на $\phi (x)$, получим уравнения

$a f_1 (x) = a f_2 (x)$

$\phi (x) f_1 (x) = \phi (x) f_2 (x)$,

каждое из которых равносильно уравнению (3).

Доказательство этой теоремы сходно с доказательством теоремы 1 и предоставляется читателю. Следует также заметить, что при проведении преобразований частей уравнения после умножения на множитель $\phi (x)$ часто происходит изменение о. д. з. и может нарушиться равносильность уравнений.

Практически в процессе решения уравнений иногда приходится производить и умножение на выражения $\phi (x)$, могущие обращаться в нуль при некоторых значениях $x$. Тогда уравнение

будет иметь нули функции $\phi (x)$ своими корнями (хотя исходное уравнение (3) могло и не иметь таких корней). Корни уравнения (8), не являющиеся корнями уравнения (3), называют посторонними корнями, и при записи ответа они должны быть отброшены.

Появление посторонних корней возможно и при возведении частей уравнения в одну и ту же степень, как это случилось с рассмотренным выше уравнением $x + 1 = 3$: по возведении его в квадрат образовалось уравнение $x^2 + 2x +1 = 9$, корень (-4) которого оказался посторонним для исходного уравнения.

Вообще, в процессе решения уравнения часто трудно соблюсти требование равносильности; наиболее важно не терять корней уравнения, т. е. от данного уравнения переходить к таким уравнениям, которые являются его следствиями. Возможные посторонние корни могут быть отброшены после проверки их подстановкой в исходное уравнение.

В связи с этим обратим внимание на прием решения уравнений путем разложения их левой части на множители. Пусть в уравнении $f (x) = 0$ левая часть представляется в виде произведения $f (x) = \phi (x) \varphi (x)$ и уравнение принимает вид

$\phi (x) \varphi (x) = 0$.

Множество корней этого уравнения является объединением множеств корней двух отдельных уравнений:

$\phi (x) = 0$ и $\varphi (x) = 0$

$\phi (x) f_1 (x) = \varphi (x) f_2 (x)$ (8)

ни в коем случае нельзя отбрасывать $\phi (x)$, а следует рассуждать так: переносим члены в левую часть уравнения и выносим $\phi (x)$ за скобки:

$\phi (x) [f_1 (x) - f_2 (x)] = 0$.

Теперь видно, что решениями нашего уравнения (8) будут как корни уравнения $f_1 (x) = f_2 (x)$, так и корни уравнения $\phi (x) = 0$.

Существуют преобразования уравнений, позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям, по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.

Равносильные уравнения, определение, примеры

Дадим определение равносильных уравнений.

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,

Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) [1, с. 179].

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными [2, с. 23].

Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают [3, с. 201].

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными [4, с. 186].

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.

Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8 , 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2 , поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2 , множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x 4 =-1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.

Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x 2 =4 , так как второе уравнение имеет корень -2 , который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.

Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5·x 2 +x 2 ·y 4 ·z 8 =0 - вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x , y и z , они оба имеют единственное решение (0, 0, 0) . А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2 , y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5 ), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1 ).

Уравнения-следствия

Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:

Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x) , то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x) [3, с. 202].

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения [4, с. 187].

Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x 2 =3 2 является следствием уравнения x-3=0 . Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3 , этот корень является и корнем уравнения x 2 =3 2 , поэтому по определению уравнение x 2 =3 2 – это следствие уравнения x-3=0 . Другой пример: уравнение (x-2)·(x-3)·(x-4)=0 – это следствие уравнения , так как все корни второго уравнения (их два, это 2 и 3 ), очевидно, являются корнями первого уравнения.

Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.

Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Нахождение корней уравнения по корням равносильного уравнения и уравнения-следствия

Из определения равносильных уравнений следует, что если известны все корни одного из равносильных уравнений, то можно считать известными все корни всех остальных уравнений этой группы: они будут такими же.

Когда известны все корни уравнения-следствия, то есть возможность определить все корни уравнения, следствием которого является данное уравнение. Для этого нужно лишь провести отсеивание посторонних корней.

Равносильными уравнениями называются такие уравнения, которые имеют одни и те же корни, например уравнения х 2 = 3х - 2 и x 2 +2 = 3x равносильны (оба имеют корни х = 1 и х = 2).

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Основные приемы, применяемые при решении уравнения, таковы.

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным. Например, уравнение (x + 1) 2 = 2x + 5
можно заменить равносильным уравнением
x 2 + 2x + 1 = 2x + 5

2. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака на обратный; например, в уравнении х 2 + 2х + 1 = 2х + 5 можно перенести все члены в левую часть, причем члены + 2х и +5 из правой части в левую перейдут со знаком минус. Уравнение х 2 + 2x + 1 - 2x – 5 =0 или, что то же, х 2 - 4 = 0, равносильно исходному.

3. Умножение или деление обеих частей равенства на одно и то же выражение. При этом нужно иметь в виду, что новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим может быть равным нулю.

Из этого отнюдь не следует, что не нужно умножать или делить обеих частей уравнения на выражение, могущее равняться нулю. Нужно только каждый раз, когда такое действие производится, учесть, не пропадут ли при этом какие-нибудь старые корни и не появятся ли какие-нибудь новые.

4. Можно также возводить обе части уравнения в одну и ту же степень или извлекать из обеих частей корни одной и той же степени; однако при этом также могут получаться уравнения, не равносильные исходным. Например, уравнение 2х = 6 имеет один корень х = 3; уравнение же (2x 2 ) 2 = 6 2 , т. е. 4x 2 = 36, имеет два корня:
х = 3 и х = - 3.

Перед тем как выполнить преобразование уравнения, нужно посмотреть, не могут ли при этом пропасть некоторые старые его корни или появиться новые. Особенно важно установить, не пропадают ли старые корни; появление новых не так опасно, ибо всегда можно, получив некоторый корень, подставить его, в исходное уравнение и непосредственно, проверить, удовлетворяется ли оно.

Сперва в уроке было разобрано такое понятие, как равносильность. Были разобраны примеры равносильных уравнений. Применялись равносильные преобразования. Основная задача урока - это разобрать равносильность линейных уравнений и теоремы о равносильности уравнений. Свойство равносильности уравнений также было изучено в уроке.

Давай повторим определения, которые ты уже знаешь и которые мы будем использовать на нашем уроке.

Уравнение — это равенство, содержащее одну или несколько переменных, значение которых нужно найти.

Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например , уравнения х 2 - 4 = 0 и (х + 2)(2 x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и ? x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения

f ( x ) = g (х) (1)

является в то же время корнем уравнения

р(х) = h (х), (2)

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например , уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х - 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2) 2 = 9. Значит, уравнение (х - 2) 2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) -> (2) -> (3) -> (4) -> . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

0, a ?1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х). " width="640"

Теоремы о равносильности уравнений

Теорема 1 . Е сли какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ?1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

f (х) и g (х).

0 и a ?1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х) " width="640"

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение

f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ), равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а0 и a ?1, X — решение системы неравенств

f (х) О,

g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х)

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Например. а) х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень => проверка!

б) ln(2x-4) =ln(3x-5)

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла => искать ОДЗ или проверка.

(2) (3) - (4) - . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ? 9х ? - 416х + 796 = 0 х ? = 2; х? = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х? = 398/9 - посторонний корень. Ответ: х = 2 " width="640"

Решить уравнение

Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) - (2) (3) - (4) - . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ?

9х ? - 416х + 796 = 0

Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х? = 398/9 - посторонний корень.

Ответ: х = 2

Решить уравнение

ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).

ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).

(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х 2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х 2 + 13х + 11 = 0; х ? = -1, х 2 = -5,5.

Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

Ответ: -1.

О потере корней

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ? 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.

Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:

х 2 = 10 4 ; х ? = 100, х 2 = -100.

Второй способ . Имеем: 2 lg х = 4; lg x = 2; х = 100.

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей

Читайте также: