Как сделать приращение функции

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 29.08.2024

Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое

Подставляя в формулу (2) выражение для из формулы (3), получим

Как правило, в тех случаях, когда вводятся исходное значение аргумента считается фиксированным, а новое значение х — переменным. Тогда оказывается постоянной, — переменной. Приращения также будут переменными. Формула (4) показывает, что переменная А у является функцией переменной

Пример 1. Для функции в точке найти приращение функции соответствующее приращению аргумента Решение. По формуле (4)

Пример 2. Найти приращение функции при переходе аргумента из точки в точку

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Приращение аргумента, приращение функции"

· познакомиться с понятием непрерывной функции;

· познакомиться с понятием предел функции в точке;

· рассмотреть примеры использования данных понятий для решения задач.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Не всегда нам надо знать точные значения тех или иных параметров. Иногда нам достаточно знать, как они изменяются. Например, если мы в течение одного дня выйдем на улицу, то нам не важно, на сколько именно изменилась температура воздуха, а нам важно похолодало или потеплело. Или при движении автомобиля нам, не важно, знать точную скорость, а важно определить разгоняется автомобиль или тормозит.

Причём, если на улице потеплело, то изменения будут со знаком плюс и наоборот если похолодало, то изменения будут со знаком минус.

Если автомобиль разгоняется, то изменения будут со знаком плюс, если тормозит – то со знаком минус.

Для описания таких изменений было введено понятие приращение.

Определение.

Пусть функция y = f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁ – x₀ называют приращением аргумента, а разность f(x₁) – f(x₀) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают так:

Приращение функции обозначают так:

Давайте рассмотрим, что же такое приращение аргумента и функции на графике.

Рассмотрим ещё один пример.

Давайте вспомним определение непрерывной функции, которое мы формулировали ранее.

Определение непрерывности функции в точке x = a выглядит так:

Определение непрерывности функции в точке можно записать так:

Когда мы вводили определение непрерывной функции, то мы говорили, что функция непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка. Давайте уточним, что означает непрерывность функции в концевых точках промежутка, например, как понимать непрерывность функции в точках a и b отрезка [a; b].

Давайте изобразим график линейной функции. Отметим приращение аргумента и функции. И найдём чему равно отношение приращения аргумента к приращению функции.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Приращение функции

Понятия "приращение функции" и "приращение аргумента"

Допустим, х – некоторая произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х ₀ . Приращением аргумента в точке х ₀ называется разность х-х ₀ . Обозначается приращение следующим образом: ?х.

Иногда эту величину еще называют приращением независимой переменной в точке х ₀ . Из формулы следует: х = х ₀ +?х. В таких случаях говорят, что начальное значение независимой переменной х ₀ , получило приращение ?х.

Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.

Приращением функции f в точке x ₀ , соответствующим приращению ?х называется разность f(x ₀ + ?х) – f(x ₀ ). Приращение функции обозначается следующим образом ?f. Таким образом получаем, по определению:

Иногда, ?f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ?у, если функция была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения

Посмотрите на следующий рисунок.

Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример 1. Найти приращение аргумента ?х и приращение функции ?f в точке х ₀ , если f(х) = х 2 , x ₀ =2 a) x=1.9 b) x =2.1

Воспользуемся формулами, приведенными выше:

? f=f(1.9) – f(2) = 1.9 2 – 2 2 = -0.39;

? f=f(2.1) – f(2) = 2.1 2 – 2 2 = 0.41.

Пример 2 . Вычислить приращение ?f для функции f(x) = 1/x в точке х ₀ , если приращение аргумента равняется ?х.

Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

Пример 3. . Найти приращение функции y=2x 2 при x0=3 и Dx=0,1

Приращение функции. Разностная форма условия непрерывности

Функция инкремента. Форма разности в непрерывных условиях. Рассмотрим функцию y= / (x), заданную в интервале (a, B*).Пусть X-любая фиксированная точка в интервале (a,&), а Ah-любое число

меньшее, так что значение x+Ah также находится в интервале(a, B). Это число Ah обычно называют p R A S Ch e N I E m a R GU m e n t a. *В качестве набора распределений функций вместо интервала

K C i i i y=> (x) в точке x, соответствующей приращению аргумента Ah, назовем число AU=1 (x+\x) -1 (x). (5.1) таким образом, для функции Y=W T X приращение, соответствующее приращению аргумента Ah,

принимает вид AU=e1n(x+Ah)—SSH=2p^x+(5.2), и следующий ut ver w D En e:функция y=1(x). Фактически, по определению, функция y=/(x) непрерывна в точке x, если существует предел) (x+Ah)= / (x). (5.3) наличие предельных значений, благодаря разделу 4, Глава 4, Раздел 3

(5.4) p a z n o s t n o y f o r m o Y условия n e p r e r s в n s t и функция g/= / (x) в точке X. используйте это условие повторно в будущем. С помощью условия (5.4)еще раз проверьте, что функция

Формулы (5.2), из условия / SOE^x+ / 0?

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: