Найти высоту параллелепипеда построенного на векторах как на ребрах сделать чертеж онлайн

Обновлено: 09.10.2024

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:

длину ребра А1А2;
угол между ребрами А1А2 и А1А4;
площадь грани А1А2А3;
уравнение плоскости А1А2А3.
объём пирамиды А1А2А3А4.

2.10. А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3).
Решение:

1. Находим длину ребра А1А2

подставим в эту формулу координаты точек и получим:
единиц
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 обозначим и вычисляем по формуле:
;
где = ; = ;
находим координаты векторов, для этого вычитаем из координат конца координаты начала :

подставляем координаты векторов в формулу и считаем cos?:
;
(градусов).
3. Площадь грани (треугольника) А1А2А3 находим используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

Сначала находим координаты векторов:

находим их произведение:

и вычисляем площадь грани:
кв.единиц

вычислив определитель матрицы получаем уравнение:
сокращая уравнение на 6 получим уравнение плоскости:
5. Объем пирамиды A1A2A3A4 равен одной шестой смешанного произведения трех векторов модуль которого числено равен объему праллелепипеда, построенного на этих векторах.
Выразим произведение трех векторов через координаты сомножителей:

Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.

Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a₁=, a₂= и a₃=

$ = \pm \left( <2\cdot\left( <\left( < — 4>\right)\cdot2 — 1\cdot3> \right) — 3\left( <\left( < — 1>\right)\cdot2 — 3\cdot3> \right) + 2\left( <\left( < — 1>\right)\cdot1 — 3\cdot\left( < — 4>\right)> \right)> \right) = -33$

Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 6

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

6616

№ 1
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение

Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

V = | abc |

V = | -7 | = 7

№ 2
Найти объём пирамиды, построенной на векторах , , .

Решение

Объём пирамиды, построенной на векторах a, b, c равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

V = | abc |/6

V = | -7 | /6= 7/6

№ 3

Найти объём тетраэдра ABCD.

Решение

Построим векторы AB, AC, AD.

Объём тетраэдра, построенного на векторах AB, AC, AD равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

V = | AB · AC· AD |/6

1. Дано: A (14; 4; 5), B (-5;-3;2), C (-2;-6;3), D (-2;2;-1) Вычислить . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение.

Ответ:

2. Дано: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3), C (5;2;6), D (8;4;-9) Вычислить . . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение.

Ответ:

3. Заданы вершины треугольника . Построить треугольник. Найти: а) векторы и их модули ;

б) направляющие косинусы вектора;

в) единичный вектор вектора ;

г) угол .

Решение.

4. Заданы три вектора . Проверить перпендикулярность и параллельность векторов и . Найти

А) векторное произведение и площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

Б) смешанное произведение векторов ; и объем параллелепипеда, построенного на векторах и .

Решение.

Вектора параллельны, если их координаты пропорциональны.

вектора и не параллельны.

Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

вектора и перпендикулярны.

5. Даны точки и векторы

1) Для векторов , , найти:

a) их координаты;

b) угол между векторами и ;

с) площадь параллелограмма, построенного на векторах и не используя значение угла между ними;

d) объем тетраэдра, построенного на трех векторах;

2) Найти x при котором векторы и параллельны.

Решение.

Подставляем заданные координаты и получаем

Ответ: 1) а) b) с) d) 2)

6. Даны векторы

Задание: написать разложение вектора по векторам

Решение.

Разложение вектора по векторам будем искать в виде То есть . Запишем это равенство в виде системы и найдем неизвестные коэффициенты:

Решим систему методом Крамера.

Отсюда находим неизвестные

Таким образом,

Ответ:

7. Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(3;2;-1), В(-3;4;3), С(1;2;1). Найти: 1) длины сторон АВ и АС.

2) длину средней линии MN, если MN//AB.

3) косинус угла между векторами АВ и АС.

4) площадь треугольника АВС.

Решение.

Ответ:

2) Пусть M –середина стороны АС, N – середина стороны ВС. Тогда

Ответ:

3) Косинус угла между векторами находим по формуле

Найдем скалярное произведение :

В пункте 1) было найдено

Ответ:

8.Найти объем тетраэдра АВСD, если векторы АВ(-4;2;1), АС(3;-3;0), АD(-1;1;1).

Решение.

Объем тетраэдра ищем по формуле

Таким образом,

Ответ:

9. Найдите координаты, модуль и направляющие косинусы вектора .

Решение.

10. Вычислите скалярное и векторное произведения векторов и , где

Решение.

11. Докажите, что точки A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.

Решение.

Найдем длины сторон.

То есть длины противоположных сторон равны. Проверим, что углы четырехугольника равны по .

Поскольку все углы равны и противолежащие стороны равны, то - прямоугольник.

Найдем длины диагоналей:

12. Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и и его скалярное произведение на вектор равно 8.

Решение.

Поскольку перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен их векторному произведению.

Так как то

Ответ:

13. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах , где взаимно перпендикулярные орты.

Решение.

Ответ: 25.

14. Дополнить векторы до ортогонального базиса и нормировать векторы полученного базиса.

Решение.

Система из четырех векторов является ортогональным базисом, если она линейно независима, и все векторы являются попарно перпендикулярными, то есть скалярное произведение