webdonsk.ruМожно ли острый угол расположить внутри тупого покажи на чертеже как это можно сделать
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 10.09.2024
№1 - найдите пересечение двух данных прямых - это тоска `B`.
Найдите точку `M` . и, зная точку `C`, найдёте `A` .
№2 - решение заключалось в составлении нормального уравнения плоскостей, - а будет ли отличие Вашего ответа при записи уравнения `x - 1 = 0` в виде `-x + 1 = 0`.
Разобрался с 1 задачей, спасибо. Всё оказалось намного проще чем думал))
а будет ли отличие Вашего ответа при записи уравнения `x - 1 = 0` в виде `-x + 1 = 0`.
нет конечно Зря я наверное начал писать про вариацию этой задачки. Но я так и не понял что нужно делать во 2 задаче((
В общем. Вот мой вариант решения в котором я вообще не уверен, как уже писал ранее, подставляем координаты точки в уравнения плоскостей:
15-2-1+3>0
12-6-2+5>0 => угол острый, точка лежит в тупом углу. Правильны ли рассуждения и решение? А что если были бы разные знаки?? допустим п1 0, чтобы тогда было?
А что если были бы разные знаки?? допустим п1 0, чтобы тогда было? - примерно про это я и спрашивал. если уравнение умножить на минус один, то плоскость не меняется, но меняется знак. тогда на основании чего вывод делаете.
как уже писал ранее, подставляем координаты точки в уравнения плоскостей: - ранее Вы писали про искал знак скалярного произведения нормалей этих плоскостей, . но тут снова всё зависит от записи уравнения и выбора нормального вектора.
Ваш вариант решения видимо должно иметь такой вид.
Записываем уравнение в таком виде, чтобы при подстановке точки получились одинаковые знаки. в этом случае угол между выбранными нормалям и искомый угол между плоскостями в этом случае будут смежными.
Берём нормали полученных плоскостей и вычисляем скалярное произведение.
И делаем вывод: а) произведение положительно, значит, искомый угол тупой. б) произведение отрицательно, значит, искомый угол острый.
картинка в плоскости, перпендикулярной линии пересечения.
серые стрелки - это прямые углы. красные корявенькие линии - это углы между нормалями.
Записываем уравнение в таком виде, чтобы при подстановке точки получились одинаковые знаки.
Значит я правильно говорил, к примеру плоскость п1 будет вот такой: -5x/корень27 + y/корень27 -z/корень27 -3 =0
Далее скалярное произведение. но я не понял, при чём здесь точка? т.е. ну нашёл я угол между нормалями и что? точка то где лежать будет?
Пичально. Ещё одна задача попалась непонятная:
Задание: Плоскость П проходит через точку A(1,0,-1) параллельно векторам a (2,1,0) и b (2,0,-1). Найти точку,
симметричную точке B(2,-1,0) относительно плоскости П.
Решение: в мыслях было построение прямой через точку B и нормаль, и построение другой прямой через 2ую нормаль и неизвестную точку. как то связать эти 2 прямые(но они параллельны) и найти координаты неизвестной точки. Эт всё неверно, здесь ещё же точка А в плоскости дана, через неё может как-то((
Значит я правильно говорил, к примеру плоскость п1 будет вот такой: -5x/корень27 + y/корень27 -z/корень27 -3 =0
не надо тут нормировать уравнение. просто умножить на минус один при необходимости (после проверки первого условия с подстановкой точки).
Далее скалярное произведение. но я не понял, при чём здесь точка? - при выполнении первого условия нормали будут направлены в полупространство, в котором находится точка. смотрите картинку.
Пичально. Ещё одна задача попалась непонятная: - обычно, новая задача - новый топик. чтобы все смогли её увидеть.
Решение: в мыслях было построение прямой через точку B и нормаль, - ещё можно найти уравнение плоскости. и точку пересечения прямой и плоскости. а дальше формула середины отрезка.
при выполнении первого условия нормали будут направлены в полупространство, в котором находится точка. смотрите картинку.
Кажется, начинает работать варилка
Итак, резюмируя(чтоб убедиться правильно ли я понял)
Сначала проверяем как будут направлены нормали.
15-2-1+3>0
12-6-2+5>0
Если знаки одинаковые, то всё в порядке идём дальше.
Ищем скалярное произведение: 25>0 - угол острый, точка лежит в тупом углу - (вот это правильно?)
И точка по вашему рисунку будет находится примерно здесь, ну или в противоположном углу
обычно, новая задача - новый топик извините, в след раз учту(
На счёт 3 задачи. построение прямой через точку B и нормаль
Я не так написал, не через нормаль, а направляющий вектор, нормалей к плоскости там нет(( ток направляющие, т.е. нет прямых, пересекающих плоскость.
Вот, рисунок сделал, как я себе это представляю, были мысли на счёт середины отрезка. но чёт не знаю
Кажется, начинает работать варилка -
И точка по вашему рисунку будет находится примерно здесь, ну или в противоположном углу - в противоположном углу она уже нарисована для примера . в неё направлены нормали.
нормалей к плоскости там нет - так найдите. векторное произведение Вам в помощь.
векторное произведение Вам в помощь..
честн говоря, я вообще не знал что через параллельные вектора можно делать векторное произведение. это вообще как.
ааааааа, я понял, нахожу вектор АB, ищу векторное произведение а и АB. Далее пересечение плоскости с вектором AB. ммм, но это будет точка А которая и так известна..кхм. всё равно непонятно что дальше делать.
Почему нельзя сразу же найти неизвестную точку через формулу середины?? я не понимаю
честн говоря, я вообще не знал что через параллельные вектора можно делать векторное произведение. я думал, что у Вас даны два вектора, которые параллельны плоскости, но непараллельны между собой.
Если `a parallel b`, то плоскость однозначно не задаётся. и задача в таком виде не будет иметь особого смысла.
Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.
Определение угла
Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.
Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.
Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.
Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .
Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.
Перейдем к понятию определения угла.
Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.
Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.
Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.
На рисунке ниже изображен развернутый угол.
Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .
Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной - ? A O B и ? B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.
Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.
При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.
Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.
Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.
Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.
Определение смежных и вертикальных углов
Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.
На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.
При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.
Сравнение углов
Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.
Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.
Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.
Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.
Развернутые углы являются равными.
Измерение углов
Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.
Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.
Чаще всего используют понятие градус.
Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.
Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.
Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .
Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.
Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.
1 ° = 60 ' = 3600 '' , 1 ' = ( 1 60 ) ° , 1 ' = 60 '' , 1 '' = ( 1 60 ) ' = ( 1 3600 ) ° ,
а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 ' 59 '' .
Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.
Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 ' 59 '' . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .
В геометрии используется мера угла из интервала ( 0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.
Острый угол измеряется в интервале ( 0 , 90 ) , а тупой – ( 90 , 180 ) . Ниже наглядно изображены три вида углов.
Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ? A O B = ? A O C + ? D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .
Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.
Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С , С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ? A O B + ? B O C = 180 ° вместе с ? C O D + ? B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ? A O B = ? C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.
Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.
Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.
На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В . По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А .
Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.
На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.
Обозначение углов на чертеже
Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.
Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.
Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.
Градусная мера острого угла больше нуля, но меньше 90 градусов.
?ABC, ?MNK, ?DEF — острые углы.
Чтобы построить острый угол заданной градусной меры, пользуются транспортиром.
Построить с помощью транспортира угол 72?.
1) Отмечаем точку — вершину угла.
2) От точки проводим луч — сторону угла.
3) Совмещаем вершину угла с отметкой в центре транспортира (у разных моделей транспортира положение этой отметки может быть разным) так, чтобы отметка 0? была расположена на стороне угла.
4) Находим 72? на той шкале, где находится 0?, и ставим точку.
5) От вершины угла через отмеченную точку проводим луч — вторую сторону угла.
На рисунках изображено построение угла 72? с началом отсчёта по нижней шкале и с началом отсчёта по верхней шкале.
?ABC=72?
?CDE=72?
Чтобы определить по рисунку, является ли угол острым, можно воспользоваться угольником. Если приложить вершину угольника к вершине угла так, чтобы сторона угольника прошла через одну сторону угла, то другая сторона угольника закроет вторую сторону угла:
1. На рисунке все тупые углы обозначь буквой Т, все острые углы – буквой О, все прямые углы – буквой П.
2. Посмотри внимательно на рисунок и определи:
– сколько тупых углов?
– сколько острых углов?
– сколько прямых углов?
3. Определи углы у каждого многоугольника на картинке.
4. Нарисуй два острых угла.
5. Нарисуй один прямой угол и один тупой угол.
6. Нарисуй треугольник с прямым углом. Какие у него получились два других угла?
7. Напиши, каким является угол, если его величина равна:
8. С помощью транспортира измерь величину угла и запиши это значение под рисунком.
– острый угол с вершиной в точке М и сторонами НМ и МО;
– развернутый угол с вершиной в точке С и сторонами ВС и СЕ;
– прямой угол с вершиной в точке Р и сторонами АР и РТ;
– тупой угол с вершиной в точке О и сторонами ЕО и ОХ.
Читайте также: