Линеаризация как сделать

Добавил пользователь Morpheus
Обновлено: 09.10.2024

В том случае, когда в уравнении (2.4) функция представляет собой нелинейную функцию своих аргументов, динамика работы звена описывается нелинейным дифференциальным уравнением, а само звено называется нелинейным динамическим звеном. Если же описание динамики работы звена приводит к линейному дифференциальному уравнению [функция в уравнении (2.4) линейно зависит от своих аргументов], то звено называется линейным динамическим звеном. Заметим, что линейность статической характеристики звена, вообще говоря, не дает основания отнести его к разряду линейных, ибо встречаются случаи, когда нелинейные свойства звена проявляются только в неустановившихся режимах.

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений существенно труднее и сложнее, чем линейных. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, всегда стремятся линеаризовать нелинейное дифференциальное уравнение, т. е. заменить его приближенно некоторым линейным дифференциальным уравнением, решение которого достаточно близко к решению исходного нелинейного уравнения.

Простейший способ линеаризации основан на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора с последующим отбрасыванием нелинейных членов разложения. Рассмотрим этот способ применительно к уравнению (2.5), имеющему первый порядок. Все изложенное будет справедливо и для уравнений более высокого порядка.

Линеаризация нелинейного уравнения всегда производится относительно некоторого, заранее выбранного, режима работы динамического звена. Чаще всего в качестве режима, принимаемого при линеаризации за исходный, выбирается установившийся режим, характеризуемый постоянством всех обобщенных координат. Применительно к уравнению (2.5) уравнения исходного режима математически могут быть записаны так:

Здесь — постоянные величины, связанные между собой уравнением

Выбрав исходный режим, для линеаризации уравнения (2.5) поступают следующим образом.

1. Представляют все входящие в рассмотрение координаты в виде

В уравнениях отклонения соответствующих координат от их значений (2.8), принятых за исходные при линеаризации. Соотношения (2.10) — (2.12) позволяют вместо полных значений координат оперировать их отклонениями (или приращениями)

2. Левую часть уравнения (2.5) разлагают в ряд Тэйлора относительно точки с координатами соответствующей исходному режиму. В результате уравнение (2.5) переписывается в виде

В соответствии с правилом разложения функции нескольких переменных в ряд Тэйлора частные производные, входящие в левую часть уравнения (2.16), вычисляются в точке, соответствующей режиму, принятому за исходный при линеаризации, так что, например, означает частную производную от функции по переменной в которую после вычисления подставлены значения Так как в исходном режиме все координаты постоянны, то все фигурирующие в уравнении (2.16) частные производные представляют собой просто некоторые числа, зависящие от выбора исходного режима (т. е. от чисел Символом в уравнении (2.16) обозначен остаточный член разложения, содержащий вторую и более высокие степени отклонений и их произведения, умноженные на соответствующие частные производные. Функция обладает тем свойством, что

как членами более высокого порядка малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени, т. е. полагают

Учитывая, кроме того, соотношение (2.9), окончательно получают уравнение

Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Оно представляет собой результат линеаризации нелинейного уравнения (2.5) относительно исходного режима (2.8).

Из изложенного следует, что необходимым условием линеаризации является разложимость функции фигурирующей в левой части нелинейного дифференциального уравнения, в ряд Тэйлора в окрестности точки с координатами, соответствующими режиму, выбранному при линеаризации за исходный. Если такое разложение невозможно (например, функция недифференцируема по какой-либо из координат), то рассмотренный метод линеаризации не имеет силы, и исходное нелинейное уравнение даже приближенно не может быть заменено линейным. В этом случае говорят, что динамическое звено, описываемое таким уравнением, является существенно нелинейным, т. е. нелинеаризуемым. Деление динамических звеньев на линеаризуемые и нелинеаризуемые связано со способом линеаризации, основанным на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора. В главе 8 будут рассмотрены методы, позволяющие осуществить линеаризацию и существенно нелинейных уравнений (методы гармонической линеаризации).

Основным допущением, которое позволяет перейти от нелинейного уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19), является допущение о малости отклонений всех входящих в рассмотрение координат от их значений, принятых при линеаризации за исходные. Поэтому линеаризованное уравнение (2.19) дает возможность исследовать лишь малые отклонения величин, характеризующих работу динамического звена, от исходного режима. Однако и такое рассмотрение в ряде случаев очень полезно.

Запись линейного дифференциального уравнения в форме (2.19) является довольно громоздкой и неудобной для практического применения. В автоматике при записи линейных уравнений принято выходную величину звена (или ее отклонение) и ее производные записывать в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую часть. В такой форме записи уравнение (2.19) примет следующий вид:

С целью сокращения выкладок в теории автоматического управления широко используется символический метод записи линейных дифференциальных уравнений, в основе которого лежит условное (символическое) обозначение производных и интеграла:

— так называемый символ дифференцирования. Его не следует путать с комплексной переменной, фигурирующей в преобразовании Лапласа (см. § 4.2), которую иногда также обозначают буквой В отличие от преобразования Лапласа (и родственных ему операционных методов) символический метод, сокращая и унифицируя запись дифференциальных уравнений и их систем, не содержит никаких приемов, облегчающих их решение.

При использовании символических обозначений уравнение (2.20) записывается следующим образом:

Уравнение (2.25) часто переписывают в виде

чисто формально отрывая символ дифференцирования от обозначения дифференцируемой функции.

то уравнение (2.26) запишется еще более компактно:

В дальнейшем дифференциальные уравнения линейных звеньев систем управления будут записываться преимущественно в форме

(2.30). При этом часто оказывается удобным разделить все члены дифференциального уравнения на коэффициент при выходной координате звена (или ее отклонении). Так, поделив все члены уравнения (2.26) на коэффициент си получим уравнение

Поскольку соединять знаками сложения, вычитания и равенства можно лишь величины одинаковой размерности, все члены уравнения (2.31) имеют размерность величины Учитывая, что Мсек, нетрудно получить соотношения для размерностей коэффициентов уравнения (2.31):

Коэффициент называется постоянной времени звена, описываемого уравнением (2.31), а величины и — коэффициентами передачи звена по входной величине и по возмущению.

Уравнение (2.31) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка в стандартной форме записи. Аналогично к стандартному виду преобразуются и уравнения более высоких порядков.

Рассмотрим снова какой-либо установившийся режим работы звена, характеризующийся постоянством координат Уравнения показывают, что отклонения координат от исходных значений в таком режиме также будут постоянны. Отсюда следует, что и линеаризованное уравнение (2.31) для установившегося режима упрощается:

Положим, кроме того что Тогда

Это уравнение является линейным. Полные значения переменных в рассматриваемом режиме связаны нелинейной зависимостью:

Сопоставление уравнений (2.36) и (2.35) позволяет дать простую геометрическую интерпретацию процессу линеаризации. На самом деле, уравнение (2.36) в плоскости координат определяет статическую характеристику звена, соответствующую значению Эта характеристика может, например, иметь вид кривой, изображенной на рис. 2.3. Выбор режима (2.8), принимаемого за исходный при

линеаризации, на этой характеристике соответствует выбору точки с координатами Переход от полных значений координат к их приращениям в плоскости геометрически означает перенос начала координат из точки О в точку В координатах уравнение (2.35) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

Соотношение (2.37) определяет производную функции заданной в неявной форме уравнением (2.36). Поэтому окончательно

Рис. 2.3. К пояснению геометрического смысла линеаризации

Таким образом, геометрический смысл линеаризации применительно к установившимся режимам состоит в том, что реальная статическая характеристика звена заменяется касательной к ней, проведенной в точке соответствующей режиму, выбранному за исходный при линеаризации. В том случае, когда касательную к статической характеристике в точке провести нельзя (характеристика в этой точке имеет излом, разрыв, неоднозначность и т. д.), линеаризация относительно выбранного исходного режима невозможна. Поэтому часто уже по виду статической характеристики звена удается судить о возможности или невозможности линеаризации описывающего его дифференциального уравнения.

Рис. 2.3 наглядно показывает, что чем меньше отклонение величины от исходного значения тем ближе расположена касательная к статической характеристике звена и тем точнее, следовательно, линеаризация.

Коэффициент в уравнении (2.35) может быть определен графоаналитически при помощи соотношения

где — коэффициент, учитывающий масштабы, принятые по осям координат; — угол, составленный касательной к статической характеристике звена в точке с осью абсцисс.

Наличие второго члена в правой части уравнения (2.34) ничего принципиально нового не вносит и свидетельствует лишь о том, что в установившемся режиме отклонение выходной величины звена от исходного значения в общем случае определяется отклонением не только входной величины но и дополнительного воздействия (например, какого-либо возмущения).

Аналогично может быть проиллюстрирован процесс перехода от нелинейного дифференциального уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19). Суть перехода заключается здесь в приближенной замене многомерной поверхности, определяемой уравнением (2.5), касательной к ней многомерной плоскостью, задаваемой уравнением (2.19). В силу громоздкости и малой наглядности геометрических построений в многомерном пространстве такой подход не приносит практической пользы и подробно здесь не рассматривается.

Из сопоставления уравнений (2.5) и (2.19) видно, что результат линеаризации (2.19) может быть написан сразу, так как левая часть линеаризованного уравнения представляет собой сумму произведений частных производных функции по каждому из ее аргументов на отклонения этих аргументов от исходных значений.

Этот результат, полученный на примере дифференциального уравнения первого порядка, сохраняет силу для уравнений произвольного порядка. В частности, для уравнения (2.6) линеаризованное уравнение запишется в виде

Уравнение (2.40) можно записать в форме (2.30), если обозначить

Здесь символические полиномы имеют первую степень относительно Ранее отмечалось, что признаком стандартной формы записи дифференциальных уравнений является равенство единице первых отличных от нуля коэффициентов при младших степенях во всех участвующие в рассмотрении символических полиномах. Пусть, например, Тогда результат линеаризации уравнения (2.6) может быть записан следующим образом:

Поделив обе части последнего уравнения на коэффициент будем иметь

Предположим дополнительно, что Тогда уравнение (2.45) можно представить в виде

причем нетрудно показать, что

Уравнение (2.45) представляет собой один из примеров стандартной формы записи линейного дифференциального уравнения второго порядка. Как и для уравнения первого порядка, коэффициенты , имеющие размерность времени, называются постоянными времени звена, а величины и — коэффициентами передачи звена.

При пользовании стандартной формой записи удобно считать все постоянные времени и коэффициенты передачи звена неотрицательными числами. Поэтому, например, в том случае, когда при вычислениях по формулам (2.44) окажется, что уравнение (2.40) следует записывать так:

Для уравнения (2.4) произвольного порядка результат линеаризации имеет следующий вид:

уравнение (2.47) можно записать так:

Уравнение (2.51) после введения символических полиномов

приводится к уравнению (2.30). Рассмотренные ранее линейные уравнения 1 и 2-го порядков являются частным случаем уравнения (2.51) при Это позволяет считать уравнение (2.51) общим уравнением обыкновенного линейного звена при наличии одного возмущающего воздействия. В правой части уравнения (2.51) фигурируют внешние воздействия умноженные на соответствующие символические многочлены. Поэтому по аналогии в том случае, когда на звено действует несколько возмущений общее уравнение звена можно записать следующим образом:

некоторые многочлены степени относительно символа дифференцирования

Если возмущения отсутствуют или не учитываются, то общее уравнение линейного звена будет таким:

или, в развернутом виде,

Запишем последнее уравнение в стандартной форме. Пусть, например, — целое неотрицательное число. Пусть, далее, . Тогда уравнение (2.58) может быть переписано так:

Разделив правую и левую части этого уравнения на коэффициент получим

В том случае, когда входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность,

Величина в уравнении (2.59) называется коэффициентом передачи звена. Для выяснения его физического смысла будем считать входное воздействие постоянным: Тогда в правой части уравнения (2.59) все производные будут равны нулю и оно запишется в следующем виде:

Ограничимся рассмотрением установившегося режима работы звена. С математической точки зрения такой режим представляет собой частное решение дифференциального уравнения (2.67). Так как характеристическое уравнение звена

(s — комплексная переменная) имеет -кратный корень то

где — некоторые числа. Поэтому

Отсюда следует, что установившийся режим работы звена описывается уравнением

Таким образом, для звена, описываемого уравнением (2.59), коэффициент передачи равен отношению производной от установившегося значения выходной величины к входному постоянному сигналу. При

и т. д. Часто при коэффициент обозначают просто буквой

Для сокращенной записи уравнения (2.59) целесообразно ввести следующие обозначения:

Тогда уравнение (2.59) запишется так:

Многочлены (2.70) и (2.71), фигурирующие в стандартной форме записи дифференциального уравнения звена, обладают тем свойством, что

В дальнейшем для сокращения записи будем опускать символ приращения Д перед обозначениями входных и выходных величин звена и возмущающих воздействий. При этом не следует забывать, что в тех случаях, когда линейное уравнение получается в результате линеаризации какого-либо нелинейного соотношения, входящие в него переменные обязательно представляют собой отклонения соответствующих координат от их значений, принятых за исходные при линеаризации.

В линеаризация , нелинейные функции или нелинейные дифференциальные уравнения аппроксимируются с помощью линейных функций или линейных дифференциальных уравнений . Линеаризация используется потому, что линейные функции или линейные дифференциальные уравнения могут быть легко вычислены, а теория более обширна, чем для нелинейных систем.

Оглавление

касательная


Самый простой метод линеаризации - провести касательную на графике. Затем параметры касательной могут быть считаны, и полученная линейная функция ( форма точечного наклона прямой)

Если функция имеет аналитическую форму, уравнение касательной можно задать напрямую.

Относительная погрешность приближения составляет

К функции применимо, например, следующее: ж ( Икс ) знак равно грех ( Икс )

у ( Икс ) знак равно грех ( Икс 0 ) + потому что ( Икс 0 ) ? ( Икс - Икс 0 ) ) + \ соз (х_ ) \ cdot (х-х_ )>

Определение касательной соответствует определению линейного члена полинома Тейлора функции, которую нужно аппроксимировать.

Приложения

Линеаризация используется, помимо прочего, в области электротехники и управление инженерией для приближенного описания нелинейных систем с помощью линейных систем .

Линеаризация умножения

На схеме потока сигналов сложные системы могут быть представлены блок- схемой, которая используется для качественной визуализации математических моделей.

Если на этой схеме потока сигналов есть точка умножения, ее можно преобразовать в точку сложения путем линеаризации.

В рабочей точке мы можем линеаризовать умножение, записав как сумму рабочей точки и разницы : Икс 1 > D Икс 1 знак равно Икс 1 - Икс 1 , AP = x_ -x_ >>>

Мы можем умножить этот продукт согласно закону распределения . В результате получается сумма:

Предположим теперь, что соотношение отклонений от рабочей точки и самой рабочей точки невелико: D Икс я >

пример

Икс 1 знак равно 2 , 4-й ; Икс 2 знак равно 110 => у знак равно Икс 1 ? Икс 2 знак равно 264. = 2 4; \ x_ = 110 \ Rightarrow y = x_ \ cdot x_ = 264.>

с ошибкой . е у знак равно 0 , 4-й ? 10 знак равно 4-й = 0 4 \ cdot 10 = 4>

Линеаризация деления

Так же, как и при умножении, мы развиваемся вокруг рабочей точки . При этом мы можем записать частное следующим образом: Икс я знак равно Икс я , AP + D Икс я = x_ >> + \ Delta x_ > Икс AP >>

Исключение операционных точек дает на разделение:

Теперь мы хотим линеаризовать числитель и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся геометрическим рядом . Следующее применяется к нулевой последовательности : q k >

Здесь в соответствии с выбором. q знак равно - D Икс 2 Икс 2 , AP > >>>>> | q | << 1

Вставка обеспечивает линеаризацию

Знаменатель приведенной выше дроби можно линеаризовать аналогичным образом. Линеаризуется деление можно записать в виде:

Линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений

Хорошо известным примером линеаризации нелинейного дифференциального уравнения является маятник . Уравнение:

Нелинейная часть есть . Для небольших колебаний вокруг рабочей точки это приблизительно равно : грех ( у ) у 0 >

К рабочей точке относится следующее: у 0 знак равно 0 = 0>

Эти линеаризованные дифференциальные уравнения обычно намного проще решить. Для математического маятника (выберите ) уравнение может быть решено с помощью простых экспоненциальных функций, в то время как нелинейное уравнение не может быть решено аналитически. Дополнительные сведения о линеаризации дифференциальных уравнений описаны в статье о представлении в пространстве состояний . Д. знак равно 0

Касательная плоскость

Если данная функция должна быть линеаризована в какой-то точке , используется формула Тейлора . Результат соответствует касательной плоскости в этой точке. ж ( Икс 1 , Икс 2 ) , x_ )> Икс 10 , Икс 20-е , x_ >

Следующее относится к функции в непосредственной близости от точки : ж ( Икс 1 , Икс 2 ) , x_ )> Икс 10 , Икс 20-е , x_ >


1) Нелинейная функция является аналитической в рабочей области и ее можно разложить в ряд Тейлора.

Простейшим методом изучения нелинейных систем является линеаризация. Суть ее состоит в том, что нелинейная система заменяется эквивалентной линейной. Очевидно, что линеаризованная модель не может заменить полностью нелинейную систему, но в некоторых отношениях поведение линеаризованной модели может быть вполне идентичным поведению нелинейной системы. Т.о., имеется возможность применять некоторые хорошо разработанные методы анализа линейных систем для изучения линеаризованной системы.

Обычно при описании элементов непрерывного действия используются переменные состояния x(t), связанные с входными U(t) и выходными y(t) сигналами с помощью следующих соотношений:


(1)


(2)

Будем считать (1)-(2) нелинейной, если в ней переменные состояния присутствуют не только в линейной форме, но и в форме произведений, целой (дробной) степени координат и трансцендентной функции от них. Во многих элементах нелинейная зависимость не удается выразить аналитически, тогда ее представляют в виде графиков или таблиц.

Линеаризуем модель (1)-(2) по этому методу, при условии малости приращений относительно положения равновесия (т.е., когда переходный процесс завершен): . Тогда представляем:, (- приращение). Аналогично:, ( r – размерность вектора u). Тогда переходим к уравнениям вида:


(1*)

Т.о. линеаризовали (1). То же самое проделаем с (2). Запишем , где


(2*)

Если провести линеаризацию относительно опорной траектории прогнозируемого движения с параметром (н – значит номинальное): . Тогда



2) Нелинейные характеристики не могут быть описаны математически, а задаются в графической форме соответствующими зависимостями.

(1,2,3 – режимы работы)


В данном методе график заменяется касательной. Т.е., та модель, которую должны получить:


Если точка фиксирована, то надо смотреть приращения и .

3). Вместо непосредственного определения частных производных, вводим переменные в исходные нелинейные уравнения:

Все слагаемые, стоящие в правых частях полученных выражений, разобьем на три группы:

- не содержащие приращения Dx и Du;

- содержащие приращения Dx и Du в виде простых множителей;

- содержащие произведения или степени приращения.

Полагая Dx и Du маленькими по сравнению с соответствующими координатами опорной траектории x0,u0 можно считать слагаемые третьей группы практически равными нулю. Слагаемые первой группы будут определять опорное движение, а слагаемые второй группы – движение в отклонениях Dx и Du от опорной траектории.


Есть функция ; М – рабочая точка, в которой надо линеаризовать f , M=(x10,…xn0).

y0 = f(M). Предположим, что переменная y определена в N выборочных точках вблизи М, N>n. Т.е., yi = f(x1i, x2i, …, xni). Линеаризованная модель, имеем вид: (13) Надо найти аi. Составим сумму квадратов отклонений для выборочных точек, используя коэффициенты линеаризованной модели.. (14) Необходимое условие минимума суммы квадратов (14) в том, что все частные производные


Тогда запишем j-ое уравнение СЛАУ:


(15) j = 1. n

Коэффициенты линеаризации aj можно определить из системы (15), если выборка корректна, т.е. det ?0.

Гармоническая линеаризация.

Выполняется в частотной области, при этом нелинейный элемент заменяется линейным, эквивалентным относительно основной составляющей.

Пусть нелинейный преобразующий элемент возбуждается синусоидальным входным сигналом: u(t) = U*sinwt. Выходной сигнал y=f(u) является периодическим. Его основная частота совпадает с частотой сигнала.

Опр.Описывающей функцией называется комплексно-значная функция: Z(u,iw) = X(u,w) + iY(u,w). Определяется как отношение комплексной амплитуды W(u, iw) – основной составляющей выходного сигнала к амплитуде U синусоидального входного сигнала.

Разложим в ряд Фурье сигнал, полученный на выходе нелинейного элемента:

, где

,

Комплексная амплитуда W(u, iw) основной составляющей выходного сигнала, будет равна: определяется как: ,

В методе описывающих функций в разложении (18) принимаются во внимание только постоянная и основная составляющие выходного сигнала. Т.е., считают, что высшие гармоники подавляются линеаризованным элементом:


Статистическая линеаризация.

Метод статистической линеаризации применяется в тех случаях, когда сигнал (на входе нелинейного элемента) – случайный (для простоты обычно предполагается, что система имеет нормальное распределение).

, , , где - шум.

Статистическая линеаризация состоит в определении приближением линейной зависимости между выходными и входными переменными, которая соответствует указанной ситуации.

При статистической линеаризации путем замены нелинейного элемента соответствующим линейным, стремятся получить с достаточной точностью полезную составляющую выходного сигнала my(t) и среднеквадратического отклонения sy(t).

1) Первый метод.

Нелинейная зависимость y = f(u) между выходной y и входной u переменными заменяется приближенным линейным соотношением: , где - идеальный выходной сигнал линеаризованного элемента, - полезная составляющая идеальной выходной переменной , - эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по отношению к шуму. Связь составляющей с полезной входной составляющей задается с помощью характеристики нелинейного элемента. Для нелинейности с центрально-симметричной характеристикой: , где - эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по отношению к математическому ожиданию. Необходимо определить Их можно найти из предположения, что МО и среднеквадратическое отклонение идеального сигнала должны соответствовать МО my и среднеквадратическому отклонению sy действительной выходной переменной.

, ,


,

2) Второй метод.

Статистическая линеаризация осуществляется с помощью минимизации среднего квадрата разности между реальным y и идеальным сигналами:

,

, ,


Можно составить матрицу Гессе: – ее главные миноры > 0, т.о., в данной точке (точке, представленной в виде (36)) будет минимум.

В математике, особенно в числовой анализ, то Метод локальной линеаризации (LL) это общая стратегия проектирования числовые интеграторы для дифференциальных уравнений на основе локальной (кусочной) линеаризации данного уравнения на последовательных интервалах времени. Затем числовые интеграторы итеративно определяются как решение полученного кусочно-линейного уравнения в конце каждого последовательного интервала. Метод LL был разработан для множества уравнений, таких как обычный, отложенный, случайный и стохастический дифференциальные уравнения. Интеграторы LL являются ключевым компонентом в реализации методы вывода для оценки неизвестных параметров и ненаблюдаемых переменных дифференциальных уравнений, заданных Временные ряды (потенциально шумных) наблюдений. Схемы LL идеально подходят для работы со сложными моделями в различных областях, например нейробиология, финансы, управление лесным хозяйством, техника управления, математическая статистика, так далее.

Содержание

Дифференциальные уравнения стали важным математическим инструментом для описания временной эволюции нескольких явлений, например вращения планет вокруг Солнца, динамики цен на активы на рынке, возгорания нейронов, распространения эпидемий и т. Д. поскольку точные решения этих уравнений обычно неизвестны, необходимы численные приближения к ним, полученные с помощью числовых интеграторов. В настоящее время многие приложения в инженерных и прикладных науках, сфокусированные на динамических исследованиях, требуют разработки эффективных числовых интеграторов, которые сохраняют, насколько это возможно, динамику этих уравнений. Исходя из этой основной мотивации, были разработаны интеграторы локальной линеаризации.

Метод локальной линеаризации высокого порядка

Метод локальной линеаризации высокого порядка (HOLL) является обобщением метода локальной линеаризации, ориентированным на получение интеграторов высокого порядка для дифференциальных уравнений, сохраняющих стабильность и динамика линейных уравнений. Интеграторы получаются путем разбиения на последовательные интервалы времени решения Икс исходного уравнения в двух частях: решение z локально линеаризованного уравнения плюс приближение высокого порядка невязки р = Икс - z < Displaystyle mathbf = mathbf - mathbf > .

Схема локальной линеаризации

А Схема локальной линеаризации (LL) это последний рекурсивный алгоритм что позволяет численно реализовать дискретизация полученный из метода LL или HOLL для класса дифференциальных уравнений.

LL методы для ODE

Позволять ( т ) час = < т п : п = 0 , . . , N > < displaystyle left (t right) _ = : n = 0, . N >> - дискретизация по времени временного интервала [ т 0 , Т ] < displaystyle [t_ , T]> с максимальным шагом час такой, что т п т п + 1 < Displaystyle т_ и час п = т п + 1 - т п <= час < displaystyle h_ = t_ -t_ leq h> . После локальной линеаризации уравнения (4.1) на шаге по времени т п < displaystyle t_ > то вариация формулы констант дает

f ( т п , z п ; час ) = ? 0 час е ж Икс ( т п , z п ) ( час - s ) ( ж ( т п , z п ) + ж т ( т п , z п ) s ) d s < displaystyle mathbf < phi>(t_ , mathbf _ ; h) = int limits _ ^ e ^ < mathbf _ < mathbf > left (t_ , mathbf _ right) (hs)> ( mathbf left (t_ , mathbf _ right) + mathbf _ left (t_ , mathbf _ right) s) ds qquad>

получается из линейного приближения, и

р ( т п , z п ; час ) = ? 0 час е ж Икс ( т п , z п ) ( час - s ) грамм п ( s , Икс ( т п + s ) ) d s , ( 4.2 ) < displaystyle mathbf (t_ , mathbf _ ; h) = int limits _ ^ e ^ < mathbf _ < mathbf > left (t_ , mathbf _ right) (hs)> mathbf _ (s, mathbf (t_ + s)) ds, qquad qquad qquad (4.2)>

Локальная линейная дискретизация

Для дискретизации по времени ( т ) час < Displaystyle влево (т вправо) _ > , то Локальная линейная дискретизация ОДУ (4.1) в каждой точке т п + 1 ? ( т ) час < displaystyle t_ in left (t right) _ > определяется рекурсивным выражением [1] [2]

Локальная линейная дискретизация (4.3) сходится с заказом 2 к решению нелинейных ОДУ, но оно соответствует решению линейных ОДУ. Рекурсия (4.3) также известна как экспоненциальная дискретизация Эйлера. [3]

Локальные линейные дискретизации высокого порядка

Для дискретизации по времени ( т ) час , < Displaystyle влево (т вправо) _ ,> а Локальная линейная система высокого порядка (HOLL) дискретизация ОДУ (4.1) в каждой точке т п + 1 ? ( т ) час < displaystyle t_ in left (t right) _ > определяется рекурсивным выражением [1] [4] [5]

Дискретизации HOLL можно получить двумя способами: [1] [4] [5] [6] 1) (на основе квадратур) путем аппроксимации интегрального представления (4.2) р; и 2) (на основе интегратора) с использованием числового интегратора для дифференциального представления р определяется


Дискретизациями HOLL являются, например, следующие:

  • Локально линеаризованная дискретизация Рунге-Кутты[6][4]
  • Локальная линейная дискретизация Тейлора[5]
z п + 1 = z п + f ( т п , z п ; час п ) + ? 0 час п е ( час п - s ) ж Икс ( т п , z п ) ? j = 2 п c п , j j ! s j d s , с c п , j = ( d j + 1 Икс ( т ) d т j + 1 - ж Икс ( т п , z п ) d j Икс ( т ) d т j ) | т = z п , < displaystyle mathbf _ = mathbf _ + mathbf < phi>(t_ , mathbf _ ; h_ ) + int _ ^ e ^ < left (h_ -s right) mathbf _ < mathbf > left (t_ , mathbf _ right)> sum _ ^

< frac < mathbf _ > > s ^ ds, < text > mathbf _ = left ( < frac mathbf left (t right) > >> - mathbf _ < mathbf > left (t_ , mathbf _ right) < frac

> right) mid _ ,>

  • Многоступенчатая дискретизация экспоненциального распространения
  • Дискретизация экспоненциального распространения типа Рунге-Кутты[7]
  • Линеализованная экспоненциальная дискретизация Адамса[8]

который является результатом интерполяции грамм п < displaystyle mathbf _ > в (4.2) на Многочлен Эрмита степени п на т п , … , т п - п + 1 < displaystyle t_ , ldots, t_ > .

Схемы локальной линеаризации

f j ( А , час ) = ? 0 час е ( час - s ) А s j - 1 d s , j = 1 , 2. , < displaystyle phi _ ( mathbf , h) = int limits _ ^ e ^ s ^ ds, qquad j = 1,2 . >

Вычисление интегралов с матричной экспонентой

Заказать 2 схемы ЛЛ

Заказать 3 схемы ЛЛ-Тейлора

Заказать 4 схемы ЛЛ-РК

у п + 1 = у п + ты 4 + час п 6 ( 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) , < displaystyle mathbf _ = mathbf _ + mathbf _ + < frac > (2 mathbf _ +2 mathbf _ + mathbf _ ), quad> [4] [6] ( 4.8 )

Локально линеаризованная схема Рунге-Кутты Дорманда и Принца

куда s = 7 это количество ступеней,

Стабильность и динамика


рисунок 1 Фазовый портрет (пунктирная линия) и приближенный фазовый портрет (сплошная линия) нелинейного ОДУ (4.10) - (4.11), вычисленных по схеме LL второго порядка (4.2), классической схеме Ругена-Кутты четвертого порядка РК4, и порядка 4 ЛЛРК4 схемы (4.8) с шагом h = 1/2, p = q = 6.

LL методы для DDE

Локальная линейная дискретизация

Для дискретизации по времени ( т ) час < Displaystyle влево (т вправо) _ > , то Локальная линейная дискретизация ДДУ (5.1) в каждой точке т п + 1 ? ( т ) час < displaystyle t_ in left (t right) _ > определяется рекурсивным выражением [11]

F ( т п , z п , час п ; z ~ т п 1 , . . , z ~ т п м ) = ? 0 час п е А п ( час п - ты ) [ ? я = 1 м B п я ( z ~ т п я ( ты - t я ) - z ~ т п я ( - t я ) ) + d п ] d ты + ? 0 час п ? 0 ты е А п ( час п - ты ) c п d р d ты < displaystyle Phi (t_ , mathbf _ , h_ ; < widetilde < mathbf >> _ ^ ,. ., < widetilde < mathbf >> _ ^ ) = int limits _ ^ e ^ < mathbf _ (h_ -u)> [ sum limits _ ^ mathbf _ ^ ( < widetilde < mathbf >> _ ^ left (u- tau _ right) - < widetilde < mathbf >> _ ^ left (- tau _ right)) + mathbf _ ] du + int limits _ ^ int limits _ ^ e ^ < mathbf _ (h_ -u)> mathbf _ drdu>

- постоянные матрицы и

Схемы локальной линеаризации


Рис. 2 Примерные пути Марчук и др. (1991) противовирусная иммунная модель, описываемая жесткой системой десятимерных нелинейных DDE с пятью временными задержками: вверху, сплошная Рунге-Кутта (2,3) схема ; botom, схема LL (5.3). Размер шага в = 0,01 фиксированный, и р = д = 6.

Полиномиальные схемы LL порядка 2

с п т = Максимум < п = 0 , 1 , 2 , . . . , : т п <= т и т п ? ( т ) час > < displaystyle n_ = max leq t < text > t_ in left (t справа) _ >> , это Локальная линейная аппроксимация к решению (5.1), определенному по схеме ЛЛ (5.3) для всех т ? [ т 0 , т п ] < displaystyle t in lbrack t_ , t_ ]> и по у ( т ) = f ( т ) < Displaystyle mathbf влево (т вправо) = mathbf < varphi>влево (т вправо)> за т ? [ т 0 - t , т 0 ] < displaystyle t in left [t_ - tau, t_ right]> . Для больших систем DDE

Методы LL для RDE

Рассмотрим d-размерное случайное дифференциальное уравнение (RDE)

Локальная линейная дискретизация

Для дискретизации по времени ( т ) час < Displaystyle влево (т вправо) _ > , то Локальная линейная дискретизация ВДЭ (6.1) в каждой точке т п + 1 ? ( т ) час < displaystyle t_ in left (t right) _ > определяется рекурсивным выражением [16]

f ( т п , z п ; час п ) = ? 0 час п е ж Икс ( z п , x ( т п ) ) ( час п - ты ) ( ж ( z п , x ( т п ) ) + ж x ( z п , x ( т п ) ) ( x ~ ( т п + ты ) - x ~ ( т п ) ) ) d ты < displaystyle mathbf < phi>(t_ , mathbf _ ; h_ ) = int limits _ ^ e ^ < mathbf _ < mathbf > left ( mathbf _ , mathbf < xi>(t_ ) right) (h_ -u)> ( mathbf _ , mathbf < xi>(t_ )) + mathbf _ < mathbf < xi>> ( mathbf _ , mathbf < xi>(t_ )) (< widetilde < mathbf < xi>>> (t_ + u) - < widetilde < mathbf < xi>>> (t_ ))) du>

Схемы локальной линеаризации


Рис. 3 Фазовый портрет траекторий движения Эйлер и LL схемы интегрирования нелинейного ВДУ (6.2) - (6.3) с шагом в = 1/32, и р = д = 6.

Схемы LL

На рис.3 представлен фазовый портрет ВДЭ.

и его аппроксимация двумя численными схемами, где ш ЧАС < displaystyle w ^ > обозначает дробный броуновский процесс с Показатель Херста H = 0,45.

Сильные методы LL для SDE

Локальная линейная дискретизация

High Order Local Linear discretizations

А High Order Local Linear discretization of the SDE (7.1) at each point т п + 1 ? ( т ) час in left(t ight)_> is then defined by the recursive expression [20]

Local Linearization schemes

Order 1 SLL schemes

Order 1.5 SLL schemes

Order 2 SLL-Taylor schemes

Order 2 SLL-RK schemes


Fig. 4, Top: Evolution of domains in the phase plane of the harmonic oscillator (7.6), with e=0 and o=s=1. Images of the initial unit circle (green) are obtained at three time moments Т by the exact solution (black), and by the schemes SLL1 (синий) и Implicit Euler (red) with h=0.05. Нижний: Expected value of the energy (solid line) along the solution of the nonlinear oscillator (7.6), with e=1 and o=100, and its approximation (circles) computed via Монте-Карло с 10000 моделирование SLL1 схема с h=1/2 и p=q=6.

For SDEs with a single Wiener noise (m=1) [20]

у т п + 1 = у п + f ~ ( т п , у п ; час п ) + час п 2 ( k 1 + k 2 ) _>=mathbf _+ >>(t_,mathbf _;h_)+>left(mathbf _+mathbf _ ight)>

+ грамм ( т п ) D ш п + ( грамм ( т п + 1 ) - грамм ( т п ) ) час п J ( 0 , 1 ) ( 7.5 ) left(t_ ight)Delta w_+ left(t_ ight)-mathbf left(t_ ight) ight)>>J_quad (7.5)>

Стабильность и динамика

По построению сильные дискретизации LL и HOLL наследуют устойчивость и динамика линейных СДУ, но это не случай сильных схем LL в целом. Схемы ЛЛ (7.2) - (7.5) с п <= q <= п + 2 < Displaystyle р Leq Q Leq р + 2>находятся А-устойчивые, включая жесткие и сильно колеблющиеся линейные уравнения. [12] Причем для линейных СДУ с случайные аттракторы, эти схемы также имеют случайный аттрактор, который сходится по вероятности к точному при уменьшении шага и сохранении эргодичность этих уравнений для любого шага. [20] [12] Эти схемы также воспроизводят важные динамические свойства простых и связанных гармонических осцилляторов, такие как линейный рост энергии вдоль путей, колебательное поведение около 0, симплектическая структура гамильтоновых осцилляторов и среднее значение путей. [20] [22] Для нелинейных СДУ с малым шумом (т. Е. (7.1) с грамм я ( т ) ? 0 < Displaystyle mathbf _ (т) приблизительно 0> ), пути этих схем SLL в основном являются неслучайными путями схемы LL (4.6) для ODE плюс небольшое возмущение, связанное с небольшим шумом. В этой ситуации динамические свойства этой детерминированной схемы, такие как сохранение линеаризации и сохранение точной динамики решения вокруг точек гиперболического равновесия и периодических орбит, становятся актуальными для путей схемы SLL. [20] Например, на рис. 4 показаны эволюция доменов на фазовой плоскости и энергия стохастического осциллятора.

и их аппроксимации двумя численными схемами.

Слабые методы LL для SDE

Рассмотрим d-мерное стохастическое дифференциальное уравнение

Локальная линейная дискретизация

Схемы локальной линеаризации

Схема заказа 1 WLL

Схема WLL порядка 2

Стабильность и динамика


Рис. 5 Приближенное среднее SDE (8.2), вычисленное методом Монте-Карло с 100 моделирование различных схем с в = 1/16 и р = д = 6.

По построению слабые LL-дискретизации наследуют устойчивость и динамика линейных СДУ, но это не относится к слабым схемам LL в целом. Схемы WLL, с п <= q <= п + 2 , < Displaystyle р Leq Q Leq р + 2,>сохранить первые два момента линейных СДУ и наследует среднеквадратичную устойчивость или нестабильность, которые может иметь такое решение. [24] Это включает, например, уравнения связанных гармонических осцилляторов, управляемых случайной силой, и большие системы жестких линейных СДУ, которые являются результатом метода линий для линейных стохастических уравнений в частных производных. Более того, эти схемы WLL сохраняют эргодичность линейных уравнений, и геометрически эргодичны для некоторых классов нелинейных СДУ. [26] Для нелинейных СДУ с малым шумом (т.е. (8.1) с грамм я ( т ) ? 0 < Displaystyle mathbf _ (т) приблизительно 0> ), решения этих схем WLL в основном представляют собой неслучайные пути схемы LL (4.6) для ОДУ плюс небольшое возмущение, связанное с малым шумом. В этой ситуации динамические свойства этой детерминированной схемы, такие как сохранение линеаризации и сохранение точной динамики решения вокруг точек гиперболического равновесия и периодических орбит, становятся актуальными для среднего значения схемы WLL. [24] Например, на рис. 5 показано приблизительное среднее значение SDE

вычисляется по различным схемам.

Исторические заметки

Ниже представлена временная шкала основных разработок метода локальной линеаризации (LL).

Читайте также: