Как сделать функцию периодической

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 04.09.2024

А периодическая функция это функция который повторяет свои значения через равные промежутки времени, например, тригонометрические функции, которые повторяются с интервалом 2p радианы. Периодические функции используются в науке для описания колебания, волны, и другие явления, которые проявляют периодичность. Любая непериодическая функция называется апериодический.

Содержание

Определение

Функция ж как говорят периодический если для некоторых ненулевой постоянный п , это тот случай, когда

ж ( Икс + п ) = ж ( Икс )

для всех значений Икс в домене. Ненулевая константа п для которого это так, называется период функции. Если существует наименее положительный [1] постоянный п с этим свойством он называется основной период (также первобытный период, основной период, или же основной период.) Часто "период" функции используется для обозначения ее основного периода. Функция с периодом п будет повторяться с интервалами длины п , и эти интервалы иногда также называют периоды функции.

Геометрически периодическая функция может быть определена как функция, график которой показывает поступательная симметрия, т.е. функция ж периодичен с периодом п если график ж является инвариантный под перевод в Икс -направление на расстояние п . Это определение периодичности может быть распространено на другие геометрические формы и узоры, а также на более высокие измерения, такие как периодические. мозаика самолета. А последовательность также можно рассматривать как функцию, определенную на натуральные числа, а для периодическая последовательность эти понятия определены соответственно.

Примеры

Примеры вещественных чисел

грех ( Икс + 2 p ) = грех Икс

Примеры повседневного использования можно увидеть, когда переменная время; например руки Часы или фазы Луна показывают периодическое поведение. Периодическое движение движение, в котором положение (я) системы выражается как периодические функции, все с одно и тоже период.

Для функции на действительные числа или на целые числа, это означает, что весь график могут быть сформированы из копий одной конкретной части, повторяющихся через равные промежутки времени.

Простым примером периодической функции является функция ж < displaystyle f>что дает "дробная часть"аргумента. Его период равен 1. В частности,

ж ( 0.5 ) = ж ( 1.5 ) = ж ( 2.5 ) = ? = 0.5

Согласно приведенному выше определению, некоторые экзотические функции, например Функция Дирихле, также являются периодическими; в случае функции Дирихле любое ненулевое рациональное число является периодом.

Примеры комплексных чисел

С помощью комплексные переменные у нас есть функция общего периода:

е я k Икс = потому что k Икс + я грех k Икс . < displaystyle e ^ = cos kx + i , sin kx.>

Поскольку обе функции косинуса и синуса периодичны с периодом 2p, комплексная экспонента состоит из косинусных и синусоидальных волн. Это означает, что Формула Эйлера (см. выше) обладает таким свойством, что если L - период функции, то

Сложные функции могут быть периодическими вдоль одной линии или оси в комплексной плоскости, но не на другой. Например, е z < displaystyle e ^ > периодичен по мнимой оси, но не по действительной оси.

Двойные периодические функции

Характеристики

ж ( Икс + п п ) = ж ( Икс )

Обобщения

Антипериодические функции

Одним из общих подмножеств периодических функций является подмножество антипериодические функции. Это функция ж такой, что ж(Икс + п) = -ж(Икс) для всех Икс. (Таким образом, п-антипериодической функцией является 2п-периодическая функция.) Например, функции синуса и косинуса являются p-антипериодическими и 2p-периодическими. Хотя п-антипериодической функцией является 2п-периодической функции, обратное не обязательно.

Блоховско-периодические функции

Дальнейшее обобщение появляется в контексте Теоремы Блоха и Теория Флоке, управляющие решением различных периодических дифференциальных уравнений. В этом контексте решение (в одном измерении) обычно является функцией формы:

куда k вещественное или комплексное число ( Волновой вектор Блоха или же Показатель Флоке). Функции этой формы иногда называют Блоховско-периодический в контексте. Периодическая функция - это частный случай k = 0, а антипериодическая функция - частный случай k = p /п.

Факторные пространства как домен

В обработка сигналов вы столкнулись с проблемой, что Ряд Фурье представляют периодические функции и что ряды Фурье удовлетворяют теоремы свертки (т.е. свертка ряда Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот), но периодические функции не могут быть свернуты с обычным определением, так как задействованные интегралы расходятся. Возможный выход - определить периодическую функцию в ограниченной, но периодической области. С этой целью вы можете использовать понятие факторное пространство:

Расчетный период

Рассмотрим реальный сигнал, состоящий из наложенных частот, выраженных в виде отношения к основной частоте, f: F = 1 /_ж [f₁ ж₂ ж₃ … Е_N], где все ненулевые элементы >=1 и хотя бы один из элементов набора равен 1. Чтобы найти период T, сначала найдите наименьший общий знаменатель всех элементов в наборе. Период можно найти как T = ЖК-дисплей /_ж . Учтем, что для простой синусоиды T = 1 /_ж . Поэтому ЖК-дисплей можно рассматривать как множитель периодичности.

Для набора, представляющего все ноты мажорной западной гаммы: [1 9 /₈ 5 /₄ 4 /₃ 3 /₂ 5 /₃ 15 /₈ ] ЖК-дисплей равен 24, поэтому T = 24 /_ж .
Для набора, представляющего все ноты мажорного трезвучия: [1 5 /₄ 3 /₂ ] ЖК-дисплей равен 4, поэтому T = 4 /_ж .
Для набора, представляющего все ноты минорного трезвучия: [1 6 /₅ 3 /₂ ] ЖК-дисплей равен 10, поэтому T = 10 /_ж .

Если не существует наименьшего общего знаменателя, например, если один из вышеуказанных элементов был иррациональным, тогда волна не была бы периодической. [2]

При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множестве , называется периодической (см. п. 14.3) с периодом , если при каждом значение и выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

Пусть, например, , тогда

С другой стороны,

По (подстановка )

Подставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), имеем .

В частности, .

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен , т. е. .

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

, где — амплитуда колебания, — частота, — начальная фаза.

Функцию такого вида (и ее график) называют простой гармоникой. Основным периодом функции (66.3) является , т. е. одно полное колебание совершается за промежуток времени ( показывает, сколько колебаний совершает точка в течение единиц времени).

Проведем преобразование функции (66.3):

где . Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями и .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и . Так, функция

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс).

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (66.3) или (66.4)? Если да, то как найти неизвестные параметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй вопрос, а потом и на первый.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

$T = 2\pi$

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периоди?ческая фу?нкция - функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери?ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T?0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

Содержание

Формальное определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается — вещественные числа с операцией сложения или — комплексные числа). Функция (где — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом , если справедливо

$f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M$

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди?ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть \not\in \mathbb" width="" height="" />
, то называется двоякопериоди?ческой фу?нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где " width="" height="" />
— произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как

Функция, равная константе " width="" height="" />
, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

Функция " width="" height="" />
является апериодической.

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360?)
y=cos(x) = cos(x+360?)
y=tg(x) = tg(x+18 0?)
y=ctg(x) = ctg(x+180?)

tg(x+ p n)=tgx, n € Z
ctg(x+ p n)=ctgx, n € Z

sin(x+2 p n)=sinx, n € Z
cos(x+2 p n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

1) Доказать следующие соотношения

a) sin( 740? ) = sin(2 0? )
b) cos( 54? ) = cos(-1026?)
c) sin(-1000?) = sin( 80? )

2. Доказать, что угол в 540? является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360? является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90? .

a) tg 375?
b) ctg 530?
c) sin 1268?
d) cos (-7363?)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим , а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+35>

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

Положим x=-0,25 получим

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.

Так как = при любом Т, то f(x+1)=3+1=3+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

Тригонометрические функции обладают свойством периодичности, которое определяется в общей форме следующим образом.

Определение. Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T$ ($T \neq 0)$, если для любого $x$ выполнено условие: если функция определена в одной из точек $x$ или $x + T$, то она определена и во второй точке, и ее значения в обеих точках равны между собой:

Число $T$ называется в этом случае периодом функции $f(x)$. Докажем следующее предложение:

Если $T$ - период функции $f(x)$, то и любое из чисел $nT, n = - 1, \pm 2, \cdots$, также является периодом $f(x)$.

Доказательство. Проведем сначала доказательство для $-T$. Для этого рассмотрим пару значений аргумента $x$ и $x + (-T) = x - T$. Из записи

видно (в силу определения периодичности), что если функция определена в одной из точек $x-T, x$, то она определена и во второй точке. Далее устанавливаем равенство $f(x-T) = f(x)$:

Доказательство того, что $nT$ при натуральном $n$ является периодом функции $f(x)$, проведем по индукции (случай отрицательного $n$ сводится к этому заменой $T$ на $-T$). Итак, требуется установить, что если $f(x)$ определена в одной из точек $x, x + nT$, то она определена и во второй точке, причем $f(x) = f(x+nT)$. Допустим, что утверждение теоремы уже доказано для некоторого $n = k$ (оно, например, очевидно при $n = 1$). Докажем, что оно останется верным и для $n = k + 1$. Прежде всего, в силу того, что $T$ - период, замечаем, что если одно из значении аргумента $x+kT$ и $x+(k+1) T = (x+kT) + T$ принадлежит области определения функции, то ей принадлежит и второе значение. Так как, по предположению индукции, такое же положение справедливо и для пары точек $x$ и $x + kT$, то видно, что точки $x$ и $x + (k+1)T$ принадлежат (или не принадлежат) области определения $f(x)$ одновременно. Далее устанавливаем равенство значений $f(x)$ в точках $x$ и $x +(k+1)T$:

$f(x + (k+1)T) = f(x + kT + T) = f(x + kT) = f(x)$ (последнее - по предположению индукции).

Доказано, что $nT$ - период функции при любом целом $n$.

Пример 1. Функция $f(x) = c$ ($c$ - постоянная величина) имеет своим периодом любое число. Основного периода здесь нет. График этой функции изображен на рис.

Пример 2. Напомним, что целой частью числа $x$ (обозначение: $[x]$) называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Целая часть х есть функция от $x$; ее график показан на рис.

Дробной частью числа $x$ (обозначение: $(x)$) мы назвали разность между $x$ и его целой частью:

Дробная часть $x$ является периодической функцией с основным периодом $T = 1$. Действительно,

$(x + 1) = x + 1 - [x + 1]$,

и так как очевидно, что $[x + 1] = = [x] + 1$, то

$(x + 1) = x + 1 - [x + 1] = x + 1 - [x] - 1 = x - [x] = (x)$.

График дробной части $x$ показан рис.

Пример 3. а) Рассмотрим следующую функцию $f(x)$, определенную для $x$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leq x < 2$:

График функции изображен на рис.

б) С помощью этой функции $f(x)$, приняв за основной период число $T = 2$, построим периодическую функцию $F(x)$:

$n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$

График функции $F(x)$ изображен на рис.

Читайте также: