webdonsk.ruКак сделать экстраполяцию
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 04.09.2024
В математике экстраполяция — это разновидность аппроксимации, при которой оценивание значения переменной производится не внутри интервала её изменения (интерполяция), а вне его. При этом экстраполяция в большей степени, чем интерполяция подвержена влиянию неопределённости и риску получить некорректные результаты.
В анализе данных основное применение экстраполяции — прогнозирование. Экстраполяционные методы являются одними из самых распространенных и наиболее разработанных среди всей совокупности методов прогнозирования.
Фактически, экстраполяция — это попытка распространить наблюдаемые в прошлом зависимости в данных, на будущее. Поэтому с точки зрения бизнеса это и есть задача прогнозирования, а экстраполяция — один из механизмов её решения.
Существует несколько методов экстраполяции, выбор наиболее подходящего из которых зависит от априорных сведений о процессе, который сформировал наблюдаемые точки данных — является ли функция гладкой, непрерывной или периодической. Методы экстраполяции, в основном, те же самые, что и интерполяции.
Наиболее простым из методов является линейная экстраполяция. Она даёт хорошие результаты в том случае, если сама исходная функция близка к линейной, а экстраполируемая точка расположена недалеко от последней наблюдаемой точки данных x n . Пусть экстраполируется точка ( x n + 1 , y n + 1 ) . Ближайшими к ней точками наблюдаемых данных будут ( x n - 1 , y n - 1 ) и ( x n , y n ) . Тогда линейная экстраполирующая функция будет иметь вид:
y ( x n + 1 ) = x n - 1 + x n + 1 - x n - 1 x n - x n - 1 ( y n - y n - 1 ) .
Таким образом, при линейной экстраполяции, новая точка ( x n + 1 , y n + 1 ) строится так, как если бы по ней и точке ( x n - 1 , y n - 1 ) интерполировалась бы точка ( x n , y n ) .
Если для экстраполяции используется больше двух точек, то угловой коэффициент итоговой интерполирующей прямой может быть определён путём усреднения.
С точки зрения прогнозирования линейная модель экстраполяции является довольно грубой и приближённой, особенно если исходная функция существенно нелинейная, отсчёты наблюдаемых точек ряда расположены далеко друг от друга или экстраполируемая точка расположена далеко от последнего наблюдаемого значения данных. В этом случае предпочтительно использовать полиномиальную экстраполяцию.
Однако линейная экстраполяция является достаточно простой в реализации и понимании, что делает её актуальной во многих практических случаях прогнозирования.
Для журнала спекулятивной фантастики см Экстраполяция (журнал) . Об альбоме Джона Маклафлина см. Extrapolation (альбом) .
В математике , экстраполяция является типом оценки , за пределами первоначального диапазона наблюдения, значения переменного на основе его отношений с другим переменным. Это похоже на интерполяцию , которая дает оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция подвержена большей неопределенности и более высокому риску получения бессмысленных результатов. Экстраполяция также может означать расширение метода , если будут применимы аналогичные методы. Экстраполяция также применима к человеческому опыту.проецировать, расширять или расширять известный опыт в области, неизвестной или ранее испытанной, чтобы прийти к (обычно предполагаемому) знанию неизвестного [1] (например, водитель экстраполирует дорожные условия за пределы его поля зрения во время вождения). Метод экстраполяции может быть применен в задаче внутренней реконструкции .
Примерная иллюстрация проблемы экстраполяции, состоящая из присвоения значимого значения синему прямоугольнику, в заданных красных точках данных. Икс знак равно 7
Содержание
Обоснованный выбор того, какой метод экстраполяции применить, зависит от предварительного знания процесса, создавшего существующие точки данных. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции. [2] Ключевыми вопросами являются, например, можно ли предположить, что данные являются непрерывными, гладкими, возможно периодическими и т. Д.
Линейная экстраполяция означает создание касательной в конце известных данных и расширение ее за этот предел. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только тогда, когда она используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.
Если две точки данных, ближайшие к точке, подлежащей экстраполяции, равны и , линейная экстраполяция дает функцию: Икс * > ( Икс k - 1 , у k - 1 ) , у_ )> ( Икс k , у k ) , y_ )>
(что идентично линейной интерполяции, если ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполянта с помощью методов, подобных регрессии , для точек данных, выбранных для включения. Это похоже на линейное предсказание . Икс k - 1 Икс * Икс k
Экстраполяции Лагранжа последовательности 1,2,3. Экстраполяция на 4 приводит к полиному минимальной степени ( голубая линия).
Полиномиальная кривая может быть построена по всем известным данным или только ближе к концу (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. Д.). Полученная кривая затем может быть расширена за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания ряда Ньютона, который соответствует данным. Полученный многочлен можно использовать для экстраполяции данных.
Экстраполяцию полиномов высокого порядка следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и проблемы на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), возможно, даст непригодные для использования значения; оценка ошибки экстраполированного значения будет расти с увеличением степени экстраполяции полинома. Это связано с феноменом Рунге .
Коническое сечение может быть создано с использованием пяти точек вблизи конца известных данных. Если созданное коническое сечение представляет собой эллипс или круг , при экстраполяции оно будет возвращаться в цикл и соединиться заново. Экстраполированная парабола или гипербола не соединятся сами с собой, но могут искривляться относительно оси X. Этот тип экстраполяции может быть выполнен с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.
Экстраполяция французской кривой - это метод, подходящий для любого распределения, которое имеет тенденцию быть экспоненциальным, но с факторами ускорения или замедления. [3] Этот метод успешно использовался для составления прогнозов роста ВИЧ / СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта CJD в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может дать такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования. [4]
Обычно качество конкретного метода экстраполяции ограничивается предположениями о функции, сделанной этим методом. Если метод предполагает, что данные гладкие, то негладкая функция будет плохо экстраполирована.
Что касается сложных временных рядов, некоторые эксперты обнаружили, что экстраполяция более точна, если выполняется путем разложения причинных сил. [5]
Даже для правильных предположений о функции экстраполяция может сильно отличаться от функции. Классический пример - это представление sin ( x ) и связанных с ним тригонометрических функций в виде усеченного степенного ряда . Например, взяв только данные, близкие к x = 0, мы можем оценить, что функция ведет себя как sin ( x ) ~ x . В окрестности x = 0 это отличная оценка. Однако вдали от x = 0 экстраполяция произвольно удаляется от оси x, в то время как sin ( x ) остается в интервале [-1, 1]. Т.е. погрешность неограниченно возрастает.
Взятие большего количества членов в степенной ряд sin ( x ) около x = 0 приведет к лучшему согласованию в большем интервале около x = 0, но приведет к экстраполяции, которая в конечном итоге отклонится от оси x даже быстрее, чем линейное приближение.
Это расхождение является специфическим свойством методов экстраполяции, и его можно обойти только тогда, когда функциональные формы, принятые методом экстраполяции (непреднамеренно или намеренно из-за дополнительной информации), точно представляют характер экстраполируемой функции. Для конкретных задач эта дополнительная информация может быть доступна, но в общем случае невозможно удовлетворить все возможные варианты поведения функций с работоспособным небольшим набором потенциального поведения.
Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитического продолжения , где (обычно) представление функции степенным рядом расширяется в одной из точек сходимости для получения степенного ряда с большим радиусом сходимости . Фактически, набор данных из небольшой области используется для экстраполяции функции на большую область.
Опять же, аналитическому продолжению могут мешать функциональные особенности, которые не были очевидны из исходных данных.
Кроме того , можно использовать преобразование последовательности , как Пад и преобразования последовательностей Левина типа как методы экстраполяции , которые приводят к суммированию из силовых рядов , которые являются расходящимися вне первоначального радиуса сходимости . В этом случае часто получаются рациональные аппроксимации .
Экстраполированные данные часто свертываются в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо преобразовать в известную функцию ядра, численные вычисления увеличатся в N log (N) раз даже при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ). Есть алгоритм, который аналитически рассчитывает вклад части экстраполированных данных. Время вычисления можно опустить по сравнению с исходным вычислением свертки. Следовательно, с помощью этого алгоритма вычисления свертки с использованием экстраполированных данных почти не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Быстрая экстраполяция была применена к реконструкции изображения КТ. [6]
Аргументы экстраполяции - это неформальные и не поддающиеся количественной оценке аргументы, которые утверждают, что что-то истинно за пределами диапазона значений, для которых это известно. Например, мы верим в реальность того, что видим через увеличительное стекло, потому что оно согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что видим в световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за рамки этого; и то же самое для электронных микроскопов.
Подобно аргументам о скользкой дорожке, аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько экстраполяция выходит за пределы известного диапазона. [7]
Существуют случаи, когда требуется узнать результаты вычисления функции за пределами известной области. Особенно актуален данный вопрос для процедуры прогнозирования. В Экселе есть несколько способов, с помощью которых можно совершить данную операцию. Давайте рассмотрим их на конкретных примерах.
Использование экстраполяции
В отличие от интерполяции, задачей которой является нахождения значения функции между двумя известными аргументами, экстраполяция подразумевает поиск решения за пределами известной области. Именно поэтому данный метод столь востребован для прогнозирования.
В Экселе можно применять экстраполяцию, как для табличных значений, так и для графиков.
Способ 1: экстраполяция для табличных данных
Прежде всего, применим метод экстраполяции к содержимому табличного диапазона. Для примера возьмем таблицу, в которой имеется ряд аргументов (X) от 5 до 50 и ряд соответствующих им значений функции (f(x)). Нам нужно найти значение функции для аргумента 55, который находится за пределом указанного массива данных. Для этих целей используем функцию ПРЕДСКАЗ.
Урок: Мастер функций в Excel
Способ 2: экстраполяция для графика
Выполнить процедуру экстраполяции для графика можно путем построения линии тренда.
Урок: Как построить линию тренда в Excel
Итак, мы рассмотрели простейшие примеры экстраполяции для таблиц и для графиков. В первом случае используется функция ПРЕДСКАЗ, а во втором – линия тренда. Но на основе этих примеров можно решать и гораздо более сложные задачи прогнозирования.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
При работе с вычислениям в программе Excel иногда требуется узнать результат функции, значения которой находятся за рамками известной области (например для прогнозирования). Рассмотрим как это сделать с помощью нескольких способов.
Метод экстраполяции позволяет найти результат функции, значения которой могут находится за пределами конкретных рамок. Зачастую это используется в прогнозировании различных экономических процессов. В этом методе можно работать как с значениями в таблицах так и в работе с данными в графиках.
Пример работы с табличными даннымиИмеется таблица с конкретным диапазоном аргументов от 5 до 50, которые относятся к функции (f(x)). В данном примере надо вычислить результат для числа, которое находится за рамкой изветсных аргументов. В данном случае это число 55. Чтобы это сделать надо работать с функцией ПРЕДСКАЗ.
Выбираем ту ячейку, которая в конечном итоге будет показывать результат. После этого нужно нажать на кнопку в строке формул, которая отвечает за вставку функций.
В конечном итоге в нужной ячейке появится результат, который относится к числу 55.
Далее будет отображен график по выбранными ранее данным. Важное примечание : нужно удалить в нём линию обозначающую аргумент (указана стрелкой на изображении).
Появится новое окно, в нём кликаем соответствующую кнопку для изменения данных.
Чтобы сделать корректное отображение линии тренда, вновь нужно перейти с соответствующий пункт как на изображении выше, но в списке нажать на последний вариант, который позволит задать дополнительные параметры в линии тренда.
Далее будет открыто новое окно, в котором можно задать параметры линии тренда. Ищем в окне настройки прогноза, и задаем число 1 (период), так как пять единиц значений = одному периоду, это было сделано так как значение за пределами 50 возьмем вновь 55.
Результатом будет удлинение длины графика соответственно к параметрам линии тренда.
Табличный процессор Excel позволяет не только быстро производить различные вычисления, но и решать достаточно сложные задачи. Например, с его помощью можно осуществлять математическое моделирование на основе набора дискретных значений той или иной функции, в том числе находить промежуточное значение функций методом интерполяции. В Excel для этого предусмотрены различные инструменты, пользоваться которыми научит эта статья.
Метод интерполяции: что это такое?
В вычислительной математике так называют способ нахождения промежуточных неизвестных значений функции Y(X) по дискретному набору уже известных.
Интерполяция функции Y(X) может осуществляться только для тех ее аргументов, которые находятся внутри интервала , такого, что известны значения Y(X0) и Y(Xn).
Если X не принадлежит , то можно использовать метод экстраполяции.
В классической постановке интерполяционной задачи требуется найти приближенную аналитическую функцию f(X), у которой значения в узловых точках Xi совпадают со значениями Y(Xi) исходной таблицы, т. е. соблюдается условие f (Xi)=Yi (i = 0,1,2,…,n).
Линейная интерполяция в Excel
Линейная экстраполяция с помощью онлайн-калькулятора по двум точкам — рассчитайте значения линейной функции вне диапазона онлайн или вручную по формулам.
Экстраполяция используется в научной практике для математического прогнозирования и выявления закономерностей различных ситуаций за границами экспериментального диапазона. Онлайн-калькулятор линейной экстраполяции помогает оценить значение координаты точки за пределами отрезка интерполяции по известным значениям остальных точек. Для выполнения корректных вычислений должны соблюдаться условия: X1>X>X2 , Y1>Y>Y2 . Теоретическое обоснование расчета и инструкция представлены ниже.
Читайте также: