Как сделать центр тяжести на картонке

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 15.09.2024

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные элементарные части тела (при любом положении тела в пространстве).

Центр тяжести часто считают эквивалентным понятию центра масс или центра инерции. Это утверждение можно считать верным только в том случае, когда система состоит из однородных тел и находится в однородном гравитационном поле.

Центр тяжести может быть расположен как внутри тела, так и снаружи. Расположение центра тяжести влияет на устойчивость системы в пространстве. Устойчивым положением или положением равновесия считают такое, при котором сумма внешних сил, действующих на тело, и сумма их моментов равны нулю.

Подробнее рассмотрим виды равновесия:

Устойчивое — положение, при выходе из которого возникают силы, стремящиеся вернуть точку в исходное положение. Пусть шарик находится на дне вогнутой поверхности. Первоначально шарик в равновесии, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При перемещении шарика к краю поверхности сила реакции опоры и сила тяжести больше не направлены вдоль одной прямой. Возникает сила F -> , возвращающая шарик в исходное положение.
Неустойчивое — положение, при выходе из которого равнодействующая сила смещает тело дальше от положения равновесия. Пусть теперь шарик находится в равновесии на вершине выгнутой поверхности. Толкнем шарик. Тогда под действием появившейся силы F -> шарик начнет смещаться дальше от своего первоначального положения.
Безразличное — положение, при котором при любых перемещениях и поворотах тело остается в равновесии. Если шарик двигать по прямой гладкой поверхности, то в любом из положений сила тяжести будет уравновешиваться силой реакции опоры.

Сравним три рассмотренных нами случая между собой. В положении на дне углубления центр тяжести находился на самой маленькой высоте относительно центра Земли. Потенциальная энергия взаимодействия шарика с Землей также минимальна, в положении на вершине — максимальна.

Сделаем следующий вывод: устойчиво то положение, в котором потенциальная энергия взаимодействия точки с Землей минимальна.

Как рассчитать центр тяжести, методы нахождения

Формулы расчета координат центра тяжести тела массой m в трехмерном пространстве имеют вид:

x = ? i ? m i · x i m y = ? i ? m i · y i m z = ? i ? m i · z i m

В векторной форме:

r c -> = 1 m ? i m i · r -> i

Перечислим способы, по которым вычисляют координаты центра тяжести для различных тел:

Способ симметрии. Согласно теоремам о симметрии, если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости, оси или совпадает с центром симметрии.
Способ разбиения. При этом способе тело сложной формы разбивается на отдельные фигуры, у которых площади и координаты центров тяжести известны или достаточно просто вычисляются.

x = ? i n x i · S i ? i n S i = x 1 S 1 + x 2 S 2 + . . . + x n S n S 1 + S 2 + . . . + S n

Метод отрицательных площадей. Метод применяют для тел, имеющих вырезы, если известно положение центра тяжести тела без учета выреза и центра тяжести самого выреза. Считают, что площадь целой части является положительной величиной, а площадь выреза — отрицательной.

x = ? i n x i · S i ? i n S i = x 1 S 1 + x 2 ( - S 2 ) + . . . + x n S n S 1 + ( - S 2 ) + . . . + S n

Метод интегрирования. Применяют, если тело невозможно разбить на простые фигуры. Тело разбивается на бесконечно малые объемы, затем интегрированием вычисляют координаты.
Метод подвешивания. Экспериментальный метод применяется для тонких плоских тел. Основан на свойстве центра тяжести находиться на одной линии с точкой подвеса. Тело поочередно подвешивают за две различные точки. Прочерчивают направления линий подвеса, центр тяжести находят как точку пересечения указанных линий.
Метод взвешивания. Экспериментальный метод используют в случае тел сложной формы и больших масс. Сначала определяют вес тела, равный силе реакции опоры. Затем определяют давление на опору какой-либо точки. Составив уравнение равновесия относительно второй выбранной точки, определяют расстояние от этой точки до центра тяжести.

Связь между расположением центра тяжести и равновесием тела легко обнаружить в жизни.

В качестве примера возьмем известную игрушку — неваляшку. Когда мы толкаем игрушку возникает сила, подобная той, которая действует на шарик в углублении. В результате неваляшка всегда возвращается в исходное положение.

Широкое применение находит условие устойчивого положения тела на плоскости: центр тяжести должен находиться на прямой, пересекающей участок плоскости, ограниченный опорами тела.

Именно для этого краны имеют дополнительные выдвижные опоры. Для этого увеличивают площадь сечения опорного участка тела: чем больше площадь, ограниченная опорой, тем на больший угол может отклониться тело, не потеряв равновесия.

Это условие должен соблюдать канатоходец, ведь в этом случае площадь опоры уменьшается до площади стопы. Наступая на канат, человек балансирует, чтобы разместить собственный центр тяжести на прямой, пересекающей стопу.

Особенности расчета для фигуры неправильной формы

На практике редко встречаются тела простой формы (круглой, прямоугольной и пр.).

Для расчета координат центра тяжести фигуры сложной формы часто применяют способ разбиения или метод отрицательных площадей, либо комбинируют два способа.

Приведем в кратком виде формулы для вычисления значения центра тяжести для простых фигур.

Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его меридиан. Координаты вычисляются как среднеарифметическое координат вершин треугольника.

x c = 1 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) y c = 1 3 ( y 1 + y 2 + y 3 )

Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечение его диагоналей. Координаты равны половине соответствующей стороны.

x c = 1 2 A D y c = 1 2 A B

Центр тяжести круга или сферы находится в его центре. Координаты равны нулю.

Центр тяжести полукруга находится на оси его симметрии. Координаты вычисляются следующим образом:

x c = 0 y c = 4 3 p R

x c = 0 y c = 3 8 R

Центр тяжести конуса лежит на его высоте. Координаты определяются:

x c = 0 y c = 1 4 O H

Ниже показано несколько примеров разбиения тел сложной формы на более простые.

Примеры задач с решением

Шарик массой m подвесили на нити. Под действием силы R -> шарик отклонился влево и удерживается в этом положении. Найти угол g, при котором шарик будет находиться в равновесии.

По определению равновесия, сумма всех действующих сил равна нулю:

R -> + F Т -> + N -> = 0 .

Зададим систему координат и запишем уравнение в проекциях на оси системы:

- R + N · sin g = 0 - m g + N cos g = 0

Четыре шара расположены в вершинах прямоугольника. Стороны прямоугольника пропорциональны друг другу с коэффициентом 2. Масса шаров m, 2m, 3m, 4m. Найти центр тяжести системы — точку C.

Введем систему координат и обозначим стороны прямоугольника b и 2b. Масса системы: M=10m. Координаты центров тяжести каждого из шаров: M(0;0); N(0;b); L(2b; b); K(2b;0). Тогда центр тяжести системы найдем по формулам:

x c = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + m 4 x 4 10 m = 14 m b 10 m = 1 , 4 b y c = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 + m 4 y 4 10 m = 5 m b 10 m = 0 , 5 b

Квадратный груз массой m закреплен к уступу на тележке. Тележка движется прямолинейно равноускоренно. Найти, при каком ускорении q груз перевернется.

На груз действует сила инерции:

Тележка перевернется в том случае, если момент инерции окажется больше момента сила тяжести, то есть: m q l > m g l . Плечо моментов l одинаково для двух сил и равно половине ребра квадрата, то есть расстоянию от точки приложения сил – центра тяжести до уступа тележки. Тогда получим, что тележка перевернется при ускорении q > g .

На каждое тело на Земле действует сила тяжести. При этом тела бывают самой разнообразной формы. Различные машины, механизмы, конструкции и строения, созданные человеком, должны быть устойчивыми для их нормального использования.

Это значит, что они должны находиться в равновесии. Каким образом добивается это условие?

В данном уроке мы рассмотрим как действует сила тяжести, к какой точке она приложена, чтобы мы могли говорить о равновесии тела. Мы введем определение центра тяжести тела и рассмотрим его особенности.

Центр тяжести

Рассмотрим простой пример. Возьмем линейку и подвесим ее на нити (рисунок 1).

Передвигая нить по длине линейки, найдем такое положение, чтобы линейка находилась в равновесии. Мы можем сказать, что линейка подвешена в центре тяжести.

Центр тяжести тела — это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные части тела.

Если мы мысленно разделим линейку на на несколько частей, то на каждую их них будет действовать сила тяжести. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз вне зависимости от положения тела.

Как мы увидели, у линейки центр тяжести будет находиться посередине ее длины. Но это справедливо не для всех тел. Если мы таким же образом подвесим лопату и будем искать положение, в котором она будет находиться в равновесии, то увидим другую ситуацию (рисунок 2). Лопата будет подвешена в центре тяжести ближе к началу ее черенка.

Расположение центра тяжести тела

Вокруг нас полно твердых тел сложной формы. Если с линейкой все было достаточно просто, то как найти центр тяжести более сложного тела?

Попробуем сделать это на практике. Вырежем фигуру произвольной неправильной формы из картона. Подвесим ее, используя отвес (рисунок 3, а).

Отвес — это приспособление, состоящее из нити и маленького грузика на ее конце. Служит для определения правильного вертикального положения других тел.

На нашу фигуру действуют две силы: сила тяжести и силы упругости. Сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила упругости — вдоль нити. Так как мы используем отвес, задающий идеальную вертикальную линию, то сила упругости будет направлена вертикально вверх.

Картонная фигура покоится. Значит, эти две силы уравновешивают друг друга. Они равны по величине и направлены в противоположные стороны. Мы можем сказать, что точки приложения этих сил находятся на одной вертикальной прямой, которую отмечает отвес. Отметим эту линию карандашом на картоне.

Отцепим нашу фигуру и подвесим ее снова, но в другой точке (рисунок 3, б). Снова проведем линию по отвесу. Мы можем провести бесконечное множество линий, подвешивая фигуру в разных ее точках. Все эти линии будут пересекаться в одной точке (рисунок 3, в). Эта точка и будет центром тяжести тела C.

Это легко проверить. Возьмем фигуру из картона и поставим ее на острие карандаша а найденном центре тяжести (точка C). Фигура не будет крениться в какую-либо сторону, не упадет — она будет находится в равновесии (рисунок 3, г).

При любом положении тела его центр тяжести находится в одной и той же точке.

Для нахождения центра тяжести объемных геометрических фигур используют похожие способы. Так, центр тяжести шара находится в его геометрическом центре, а у параллелепипеда — в точке пересечения его диагоналей (рисунок 4).

Центр тяжести тела может находиться и вне самого тела. Например, у кольца (рисунок 5).

Примером тела с центром тяжести, находящимся вне тела, также могут служить разные сувениры. Например, вот эта птичка (рисунок 6). Она сделана так, что ее центр тяжести находится ровно под ее клювом. Это позволяет зрелищно держать такую игрушку на кончике пальца, создавая иллюзию полета.

Может ли измениться центр тяжести тела? Да, но только в том случае, если изменяется относительное расположение частей тела. Например, при непластичной деформации.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

У каждого предмета есть центр тяжести. Например, у однородной палки (такой, как, например, черенок лопаты) он находится точно на ее середине, у крышки кастрюли — в ее центре. Для того чтобы горизонтально подвесить палку, понадобятся самое маленькое две нитки, привязанные к ее концам, но, воспользовавшись центром тяжести, можно обойтись и одной ниткой, привязанной к самой середине палки. Чтобы крышка кастрюли висела горизонтально, тоже вместо нескольких ниток достаточно одной, привязанной в ее центре (за ушко).
От положения центра тяжести зависит равновесие предмета. Если центр тяжести находится ниже точки опоры и точно под ней, будет самое устойчивое равновесие. Это можно проследить на опытах, которые мы с вами сейчас проделаем.

СОРЕВНОВАНИЕ ДВУХ КАРАНДАШЕЙ

Возьмите два граненых карандаша и держите их перед собой параллельно, положив на них линейку. Начните сближать карандаши. Сближение будет происходить поочередными движениями: то один карандаш движется, то другой. Даже если вы захотите вмешаться в их движение, у вас ничего не получится. Они все равно будут двигаться по очереди.

Почему это происходит? Как только на одном карандаше давление стало больше и трение настолько возросло, что карандаш дальше двигаться не может, он останавливается. Зато второй карандаш может теперь двигаться под линейкой. Но через некоторое время давление и над ним становится больше, чем над первым карандашом, и из-за увеличения трения он останавливается.

А теперь может двигаться первый карандаш. Так, двигаясь по очереди, карандаши встретятся на самой середине линейки у ее центра тяжести. В этом легко убедиться по делениям линейки.

Этот опыт можно проделать и с палкой, держа ее на вытянутых пальцах. Сдвигая пальцы, вы заметите, что они, тоже двигаясь поочередно, встретятся под самой серединой палки. Правда, это лишь частный случай.

Попробуйте проделать то же самое с обычной половой щеткой, лопатой или граблями. Вы увидите, что пальцы встретятся не на середине палки.

ОПЫТ С НЕУСТОЙЧИВЫМ РАВНОВЕСИЕМ

Напомним условие устойчивого равновесия: равновесие будет устойчивым, если центр тяжести находится ниже точки опоры и точно под ней. Это значит, что, если отвесная линия проходит через точку опоры или подвеса и через центр тяжести, уже можно надеяться, что равновесие будет обеспечено.

Шар, который лежит на столе, всегда будет находиться в состоянии равновесия, потому что его центр тяжести (а он находится в центре шара) будет соединен с точкой опоры отвесной линией, как бы мы шар ни передвигали. Такое равновесие называется безразличным. Другое дело, если вы захотите, чтобы шар удержался на кончике пальца. И хотя такое равновесие будет очень неустойчивым, но все-таки, оказывается, и оно возможно. Ведь не только жонглеры в цирке легко держат большие мячики на кончике пальца, но и животные: дрессированные морские львы, например, удерживают шар на кончике своего носа.

Проделайте опыты с мячами разных размеров и подумайте, почему удачней всего получается опыт с большим мячом.

РАВНОВЕСИЕ ЧЕЛОВЕКА

Встаньте правым боком вплотную к стене, поднимите одновременно левую руку и ногу и попытайтесь удержаться в таком состоянии.
Почему человек теряет равновесие?

Человек теряет равновесие при одновременном поднятии левой руки и ноги, так как прямая, проведенная через центр тяжести, перестает пересекать площадь опоры.

УСТОЙЧИВЫЙ КАРАНДАШ

Попробуй поставить карандаш на острие. Можешь возиться хоть целый день.

И все-таки есть очень простой способ заставить карандаш стоять.
Это старинный, очень наглядный опыт. Перочинный нож у вас, наверно, есть, карандаш тоже. Зачините карандаш, чтобы у него был острый конец, и немного выше конца воткните полураскрытый перочинный нож, раскрытый не до конца. На рисунке ясно видно, как это сделать.

Поставьте острие карандаша на указательный палец, и карандаш будет стоять на пальце, слегка покачиваясь. Раскрывая нож больше или меньше, можешь устанавливать карандаш не только прямо, но и наклонно. И все равно он не будет падать, даже если его толкнуть. Немножко покачается —и останется стоять на острие!

Почему же карандаш без ножа падает, а с ножом стоит?
Ведь в обоих случаях карандаш опирается на острие. Это его точка опоры. Но в первом случае точка опоры находилась в самом низу. А во втором —под ней висел перочинный нож. Ясно, что дело здесь именно в ноже. Если карандаш наклонится и начнет падать —нож будет подниматься вверх.
Но ведь нож тяжелее, он тянет вниз и заставляет карандаш снова выпрямиться.

Где находится центр тяжести карандаша и перочинного ножа? Ответ простой: на пересечении отвесной линии, проведенной через точку опоры и рукоятку ножа. То есть в самой рукоятке, значительно ниже точки опоры.

НОЖ МОЖЕТ БЫТЬ И НАВЕРХУ

В опыте с карандашом перочинный нож находился внизу. Но он может быть и наверху. Нужно только взять еще более тяжелый предмет, чтобы главная тяжесть все-таки оказалась ниже точки опоры.
Очень удобна для этого опыта поварешка. Она тяжелее ножа, и на конце ее ручки есть крючок.
Поставь полуоткрытый перочинный нож у края стола и повесь на него поварешку. Покачавшись, это сооружение уравновесится. А ведь ясно, что без поварешки нож и секунды не простоял бы в таком положении!

Чем тяжелее поварешка, тем ровнее стоит нож. В этом легко убедиться, насыпая в поварешку песок. Нож будет подыматься все выше.

С поварешкой и ножом можно сделать еще более красивый опыт. На рисунке ты видишь, как надеть поварешку у основания лезвия. Нож придется согнуть так, чтобы поварешка не скользила и торчала под углом примерно 45° к рукоятке ножа. Теперь все сооружение будет в равновесии, если конец рукоятки подпереть пальцем. А можно положить его на край стола. Правда, стакан придется наполнить водой, чтобы он не опрокинулся.

ОПЫТ С ПОВАРЕШКОЙ

Нож тяжелее карандаша. Поварешка тяжелее ножа. Что бы такое подобрать тяжелее поварешки?
Крышку от кастрюли? Годится! Только не алюминиевую, а эмалированную, она потяжелее.

Посмотри, какой рекорд равновесия установила поварешка, соединенная со своей подружкой шумовкой! Крышка от кастрюли лежит краем на горлышке бутылки в прочном, устойчивом положении.

А ТЕПЕРЬ НАВЕРХУ КРЫШКА ОТ КАСТРЮЛИ

Можно ли уравновесить крышку от кастрюли на острие иглы? Ты, конечно, сразу сообразишь, что для этого нужно подобрать что-нибудь потяжелее крышки. В нашем опыте взяты четыре вилки. Только они должны быть стальные или мельхиоровые: алюминиевые слишком легки.

Разрежь по длине две корковые пробки. Если таких пробок у тебя нет, можешь заменить их кусками пенопласта. В каждую из четырех половинок воткни по вилке так, чтобы угол между плоскостью среза и вилкой был чуть-чуть меньше прямого.

Размести вилки с пробками по краю крышки на равных расстояниях одна от другой. Для большей устойчивости зубья вилок должны касаться края крышки.

Теперь крышку от кастрюли удастся наконец уравновесить на острие иглы, всаженной в пробку. На глаз кажется, что это невозможно,—и все-таки крышка стоит! Ее можно даже заставить вращаться, если раскрутить достаточно осторожно. И вращаться она будет долго. Ведь трение между кончиком иглы и эмалированной крышкой очень невелико.

Источники: Ф. Рабиза "Опыты без приборов"; "Забавная физика"; Л.А. Горев "Занимательные опыты по физике"

Для определения положения центра тяжести фигур и тел сложной геометрической формы их мысленно разбивают на такие части простейшей формы (если, конечно, это возможно), для которых положения центров тяжести известны. Затем определяют положение центра тяжести всей фигуры или тела по формулам § 39, понимая в этих формулах под и объемы, площади и длины частей, на которые разбито данное тело, фигура или линия, а под и — координаты центров тяжести этих частей.

Если рассматриваемые фигуры или тела неоднородны, то, разделив их па однородные части, умножают входящие в формулы (43), (44) и (47) объемы, площади и длины этих частей на соответствующий каждой части удельный вес. Если в данном теле или фигуре имеются полости или отверстия, то для определения центра тяжести такого тела или фигуры пользуются теми же приемами и формулами, считая при этом объемы и площади вырезанных частей отрицательными.

В тех случаях, когда данное тело нельзя разбить на такие части, для которых было бы известно положение их центров тяжести, для вычисления координат центра тяжести тела приходится пользоваться методами интегрального исчисления.

Экспериментальный способ

Для определения центра тяжести неоднородных тел сложной формы существуют различные экспериментальные методы. Рассмотрим на примерах два из них.

I. Метод взвешивания. Для определения положения центра тяжести шатун (рис. 93) подвешиваем в точке и опираем точкой на платформу десятичных весов, так чтобы он занял горизонтальное положение. Сила давления шатуна на платформу, найденная путем взвешивания, оказалась равной по модулю . К находящемуся в равновесии шатуну приложены силы: сила тяжести шатуна, проходящая через его центр тяжести, вертикальная реакция платформы, проходящая через точку и равная по модулю силе давления шатуна на платформу, и сила натяжения нити .

Зная вес шатуна и расстояние между его точками и , теперь нетрудно найти и расстояние от точки до центра тяжести шатуна. Одним из уравнений равновесия шатуна будет:

вертикали с неподвижной точкой и, следовательно, будет лежать на линии . Вновь подвесив тело к другой его точке (рис. 94,6), мы точно так же найдем, что его центр тяжести лежит на линии , являющейся продолжением направления нити . Точка пересечения линий и и будет являться центром тяжести тела. Способ подвешивания удобен для определения положения центра тяжести тонких пластинок.

Пример задачи:

Найти статические моменты относительно координатных осей площади листа и координаты его центра тяжести. Размеры листа (в сантиметрах) указаны на рис. 95.

Решение:

Разобьем данную площадь на три прямоугольника. Центр тяжести каждого из прямоугольников лежит на пересечении его диагоналей. Координаты этих центров, так же как и площади прямоугольников, легко определяются из чертежа.

По формулам (45) находим статические моменты площади данной фигуры

Определяем теперь по формулам (46) координаты центра тяжести площади фигуры:

Пример задачи:

Найти центр тяжести площади кругового сегмента радиуса , если (рис. 96).

Решение:

Искомый центр тяжести лежит на оси симметрии, проходящей через центр круга и середину дуги . Направим вдоль прямой ось . Начало координат возьмем в точке Будем рассматривать круговой сегмент как состоящий из двух фигуp: кругового сектора и треугольника , причем вторую площадь надо считать отрицательной.

Площадь кругового сектора

Абсцисса его центра тяжести

По формуле (44) определяем абсциссу центра тяжести данного кругового сегмента:

Пример задачи:

Тело состоит из деревянного цилиндра II, радиус которого высота и двух скрепленных с ним стальных шаров I и III с радиусами и (рис. 97). Определить положение центра тяжести этого тела, если удельный вес дерева и удельный вес стали .

Решение:

Искомый центр тяжести лежит на оси симметрии, проходящей через центры шаров и . Начало координат возьмем в центре большого шара и ось симметрии примем за ось . Разобьем тело на три части и составим для них таблицу объемов и координат (абсцисс) центров тяжести.

Для определения абсциссы центра тяжести всего неоднородного тела воспользуемся формулой (42):

Пример задачи:

Определить статические моменты относительно координатных осей и положение центра тяжести сечения (рис. 98, я), составленного из равнобокого уголка 100 X 100 X 10, швеллера №24 и полосы 190 X 10.

Решение:

Из таблиц нормального сортамента для прокатной стали ‘) выпишем следующие данные:

I. Равнобокий уголок (рис. 98,6), ГОСТ 8509-57. Профиль № 10. Ширина полки Толщина полки . Площадь поперечного сечения Расстояние центра тяжести от оснований полки .

II. Швеллер (рис. 98, в), ГОСТ 8509-57. Профиль № 24. Высота стенки Ширина полки Толщина стенки Площадь поперечного сечения . Расстояние центра тяжести от наружного края вертикальной стенки . (Швеллер имеет горизонтальную ось симметрии и, следовательно, его центр тяжести лежит на этой оси.)

III. Полосовая сталь, ГОСТ 103-57. Сечение — прямоугольник. Ширина полосы 190 мм. Толщина 10 мм. Площадь поперечного сечения

Нумеруем отдельные части сечения и на основании записанных выше данных проставляем соответствующие размеры (в см) на рис. 98, а. Оси координат выбираем так, как указано на этом рисунке.

Статический момент сечения относительно оси :

Координаты центра тяжести сечения:

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Найти "центр тяжести" полигона и отметить его точкой

Столкнулся со следующей проблемой:
Нужно найти "центр тяжести" полигона и отметить его точкой. Может есть какой-нибудь скрипт на это дело?

Сразу попытаюсь объяснить что имеется в виду под центром тяжести:
Представьте, что вы вырезали любую область России из картона и теперь надо найти такую точку, воткнув иголку в которую можно добиться того, что картонка не будет "заваливаться на бок" а останется горизонтальна полу
Объяснение детское - но думаю так понятнее.

Упрощенно можно так: грид и среднее из координат всех точек.
Для облака точек можно сразу среднее, а для полигонов, наверное, так.

В версии 9.3 есть функция Calculate Geometry, где для полигона можно для полей таблицы вычислить X и Y координаты центроида. Для России у меня получилось Широта=61.95 и Долгота=96.58, это в Decimal Degrees. Визуально это похоже на центр масс. Соответственно, открываем таблицу атрибутов для полигонов, создаем два новых поля, в которых рассчитываем X и Y. После этого копируем содержимое этих полей и по ним строим точечный шейп.

Мне кажется для плоской фигуры центроид и центр масс должны совпадать, поскольку толщина по Z=0. Хотя надо посмотреть определение центроида .

Центроид
Англ.: Centroid, Seed
1. Точка, являющаяся центром тяжести (геометрическим центром) фигуры;
2. Внутренняя точка полигона со значениями координат, полученными, например, осреднением координат всех точек, образующих полигон; служит для его идентификации (см. метка); в случае невыпуклого полигона или составного полигона, включающего внутренние полигоны -- "острова", анклавы, ее положение может не совпадать с центром тяжести полигона (Ц. в первом значении).

Я склонен доверять этому определению и интуитивно для плоских фигур отождествляю эти понятия. Цитирую справку ESRI

В гидрологии центр тяжести применяется в традиционных методах расчета стока на неизученных бассейнах, что отражено в соответствующих нормативных документах (СНиПы и СП), поэтому мы его иногда применяем.

Что-то я запутался в этих определениях, мне кажется или в первом пункт 2 противоречит пункту 1 в части про невыпуклые полигоны или просто у центроида 2 определения (ArcGIS как я понимаю считает 1). Т.е., читая его буквально:
1. центроид <> внутренняя точка
2. центроид = внутренняя точка

Теперь еще соображение, возьмем объект типа круга с длинной тонкой "ручкой". Где его геометрический центр? Наверное где-то посередине этой тонкой ручки. Если мы как автор топика воткнем в него иглу и попробуем поставить на нее, что случится? Завалится, одна из частей явно тяжелее другой. Или мне кажется?

Я рассматривал пункт 2 как уточнение пункта 1 для сложных составных полигонов.
Проверил на дырявом полигоне, при увеличении дырки центр тяжести, рассчитанный в Arcgis, смещается.
На рисунке: 1 и 2 - дырки. Ц1 и Ц2 - координаты центров тяжести дырявых полигонов с соответствующими дырками 1 и 2.

Я не могу сказать совпадает ли центроид с центром тяжести плоской фигуры, но одно я знаю точно - рассчитывается центроид очень быстро. Так что алгоритм не может быть сильно заумным.
-----
Для MapInfo:
a) фигура с дыркой и без дырки, имеет один и то же Centroid

Centroid выглядит не соответствующим любому определению

Видимо существует несколько определений (или реализаций) Centroid

Борис, Журавлев, спасибо за иллюстрации, только я сам собирался тоже самое сделать
А сковородка таки заваливается, согласно предсказанию.

Вот мои произведения, Arcview GIS, Polygon.ReturnCenter + прямоугольник охвата вокруг них. Заодно прилагаю сам шейп на случай если вдруг кто-то захочет сравнить что получается для тех же фигур в другом ПО. Было бы интересно.

в ArcGIS 9.3 - Data Management Tools-Feature-Feature To Point
Очевидно, что крест и серп на иголке не подвесишь, поэтому центроиды получились внутри дырок. Кстати, существует еще опция Inside, с использованием которой результаты получились аналогичными результатам sim.

Когда-то давно разбирали этот вопрос. По-моему, в ArcINFO даже было описание на эту тему. Центроид мол считается как центр тяжести, а потом сдвигается перпендикулярно оси пока не попадет внутрь фигуры.
Поскольку считается простым способом, без особого анализа формы, то может не совпадать с истинным ЦТ. IMHO векторно ЦТ непросто вычислить, вряд ли есть готовый алгоритм. Обычно применяют разбиение на треугольники и тп. Или подобно грид в результате по регулярной сетке, только с неявной дискретностью - как правило, совпадающей с точностью координат. Т.е. долгая процедура.

Естественно, есть. Вы полагаете, что этот вопрос впервые заинтересовал именно вас? (без обид ;) А как тогда сделали все графические векторные редакторы, а системы черчения (типа AutoCAD, MicroStation. ), а системы проектирования (типа SolidEdge, I/EMS), а ракеты как запустили.
Ищем книги с названиями подобными самосфантазированнаму - "Алгоритмы компьютерной графики". Издания, эдак, годов 70-х - 80-х. Скорее всего, перевод. В библиотеках, типа ГПНТБ в Москве, по меж.библ.абонементу, в Инете или где-то воруем.
Уже давно всё описано (по крайней мере, математика для геоинформатики). Не изабритайте виласипеды! Читайте сначала книги, потом берите в руки манипуляторы типа "мышь" и киборды.
Короче, "Учите матчасть!" - говорил (по рассказам) прапор моего недавнего бойфренда.
--
Маша

Естественно, есть. Вы полагаете, что этот вопрос впервые заинтересовал именно вас? (без обид
Уже давно всё описано (по крайней мере, математика для геоинформатики). Не изабритайте виласипеды! Читайте сначала книги, потом берите в руки манипуляторы типа "мышь" и киборды.
Короче, "Учите матчасть!" - говорил (по рассказам) прапор моего недавнего бойфренда.
--

2All: Спасибо за предложенные варианты. Мне как раз был нужен "центр тяжести" для Иркутской области - а она по форме отдаленно напоминает "сковородку". хотя честно сказать я так до конца и не уверен, что полученная точка - это именно то, что мне нужно - хоть и в самом деле вырезай из картона и накалывай на иголку

Читайте также: