Как сделать таблицу синусов

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 06.10.2024

Как работает приложение Windows Forms ? Оно, как и консольное приложение, начинает работу с исполнения метода Main, размещенного (по умолчанию) в файле Program.cs. Но в этом случает Main обычно показывает главную форму и на этом свою работу заканчивает. Дальнейшая работа приложения Windows Forms происходит под управлением так называемых событий: щелчков по кнопкам или пунктам меню и т п. Поэтому в этом примере на форме размещена кнопка "Создать таблицу"

Как создать приложение Windows Forms ?
- При запуске Visual Studio обычно открывается "Начальная страница". Щёлкните "Создать проект". В окне "Создать проект", в окошке "Расположение" выберите папку, внутри которой будет расположена папка проекта. Например, у меня здесь:
D:\XRAN_MY_PROGS\0_vis_stud\ . В окошке "Имя" впишите имя проекта, например, этот проект: "my0_4sin"

Font (шрифт). Щёлкаю кнопку построителя справа, выбираю размер и тип шрифта
Text - Заголовок формы вписываю.
FormBorderStyle - Fixed3D - форма фиксированных размеров

- Аналогично устанавливаю окошки для ввода значений - правее надписей. Это элементы класса TextBox. Устанавливаю свойства Text, соответственно (сверху-вниз): 0, 1, 10 хотя это необязательно. Считаю полезным задавать имена элементов - для того, чтобы в окне кода легче узнавать их по именам. Установил имена TextBox, соответвтвенно: tBnac (начало), tBshag (шаг), tBstrok (число строк)

- Размещаю окошко TextBox для вывода таблицы. Устанавливаю для него свойства: ScrollBars = Vertical (вертикальная полоса прокрутки), Multiline = True (для показа нескольких строк), WordWrap = False (Запретил перенос на новую строку),

- Обработчик события - это метод, который выполняется при возникновении события, например, щелчка по кнопке. Ставлю кнопку (класс Button), заполняю свойство Text: Создать таблицу, имя (Name = btnGo), а также обработчик события Click (щелчок по кнопке, клик). Этот обработчик можно создать двойным щелчком по кнопке в окне конструктора. Более универсальный способ такой: выделить кнопку, открыть Свойства, перейти на вкладку "События" (кликнуть вверху кнопку "События" (где молния )) и в списке событий сделать двойной щелчок по строке Click. Вы перейдёте в окно редактора кода, где часть кода в окне редактора уже сформирована автоматически, в том числе и пустая заготовка для метода, являющегося обработчиком события Click. То есть этот метод btnGo_Click будет выполняться, когда пользователь кликнет кнопку "Создать таблицу". Далее обсуждается работа этого метода.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синусом угла a называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол a.

Периодичность синуса

Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2p

Пример sin(5p) = sin(4p + p) = sin(p)

Таблица синусов в радианах

sin(0°) = 0 sin(p/12) = sin(15°) = 0.2588190451 sin(p/6) = sin(30°) = 0.5 sin(p/4) = sin(45°) = 0.7071067812 sin(p/3) = sin(60°) = 0.8660254038 sin(5p/12) = sin(75°) = 0.9659258263 sin(p/2) = sin(90°) = 1 sin(7p/12) = sin(105°) = 0.9659258263 sin(2p/3) = sin(120°) = 0.8660254038 sin(3p/4) = sin(135°) = 0.7071067812 sin(5p/6) = sin(150°) = 0.5 sin(11p/12) = sin(165°) = 0.2588190451 sin(p) = sin(180°) = 0 sin(13p/12) = sin(195°) = -0.2588190451 sin(7p/6) = sin(210°) = -0.5 sin(5p/4) = sin(225°) = -0.7071067812 sin(4p/3) = sin(240°) = -0.8660254038 sin(17p/12) = sin(255°) = -0.9659258263 sin(3p/2) = sin(270°) = -1 sin(19p/12) = sin(285°) = -0.9659258263 sin(5p/3) = sin(300°) = -0.8660254038 sin(7p/4) = sin(315°) = -0.7071067812 sin(11p/6) = sin(330°) = -0.5 sin(23p/12) = sin(345°) = -0.2588190451

Функция SIN в Excel используется для вычисления синуса угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция SINH в Excel возвращает значение гиперболического синуса заданного вещественного числа.

Функция COS в Excel вычисляет косинус угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция COSH возвращает значение гиперболического косинуса заданного вещественного числа.

Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel

Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.

Для решения используем формулу:

B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.

В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.

Таблица синусов и косинусов в Excel

Пример 2. Ранее в учебных заведениях широко использовались справочники тригонометрических функций. Как можно создать свой простой справочник с помощью Excel для косинусов углов от 0 до 90?

Заполним столбцы значениями углов в градусах:

Для заполнения используем функцию COS как формулу массива. Пример заполнения первого столбца:

Вычислим значения для всех значений углов. Полученный результат:

Примечание: известно, что cos(90°)=0, однако функция РАДИАНЫ(90) определяет значение радианов угла с некоторой погрешностью, поэтому для угла 90° было получено отличное от нуля значение.

Аналогичным способом создадим таблицу синусов в Excel:

Построение графика функций SINH и COSH в Excel

Пример 3. Построить графики функций sinh(x) и cosh(x) для одинаковых значений независимой переменной и сравнить их.

Формула для нахождения синусов гиперболических:

Формула для нахождения косинусов гиперболических:

Таблица полученных значений:

Как видно, графики совпадают на промежутке (0;+?), а в области отрицательных значений x части графиков являются зеркальными отражениями друг друга.

Особенности использования тригонометрических функций в Excel

Синтаксис функции SIN:

Синтаксис функции SINH:

Синтаксис функции COS:

Синтаксис функции COSH:

Каждая из приведенных выше функций принимает единственный аргумент число, который характеризует угол, заданный в радианах (для SIN и COS) или любое значение из диапазона вещественных чисел, для которого требуется определить гиперболические синус или косинус (для SINH и COSH соответственно).

трюки • приёмы • решения

Использование диаграмм Excel — хороший способ отображения графиков математических и тригонометрических функций. В этой статье описываются два метода построения графика функции: с одной переменной с помощью точечной диаграммы и с двумя переменными с помощью 3D-диаграммы.

Построение графиков математических функций с одной переменной

Точечная диаграмма (известная как диаграмма XY в предыдущих версиях Excel) отображает точку (маркер) для каждой пары значений. Например, на рис. 140.1 показан график функции SIN. На диаграмму наносятся рассчитанные значения у для значений х (в радианах) от -5 до 5 с инкрементом (приращением) 0,5. Каждая пара значений х и у выступает в качестве точки данных в диаграмме, и эти точки связаны линиями.

Рис. 140.1. Диаграмма представляет собой график функции SIN(x)

Функция выражается в таком виде: у = SIN(x) .

Соответствующая формула в ячейке В2 (которая копируется в ячейки, расположенные ниже) будет следующей: =SIN(A2) .

Чтобы создать эту диаграмму, выполните следующие действия.

Выделите диапазон А1:В22 .
Выберите Вставка ? Диаграммы ? Точечная ? Точечная с прямыми отрезками и маркерами.
Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.

Измените значения в столбце А для построения графика функции при различных значениях х. И, конечно, вы можете использовать любую формулу с одной переменной в столбце В. Вот несколько примеров, которые приводят к построению интересных графиков:
=SIN(ПИ()*A2)*(ПИ()*A2)
=SIN(A2)/A2
=SIN(A2^3)*COS(A2^2)
=НОРМ.РАСП(A2;0;1;ЛОЖЬ)

Чтобы получить более точную диаграмму, увеличьте количество значений для построения графика и сделайте приращение в столбце А меньше.

Построение графиков математических функций с двумя переменными

Вы также можете строить графики функций, которые используют две переменные. Например, следующая функция рассчитывает z для различных значений двух переменных (х и у): =SIN($A2)*COS($B1)

На рис. 140.2 приведена поверхностная диаграмма, которая рассчитывает значение z для 21 значения х в диапазоне от -3 до 0 и для 21 значения у в диапазоне от 2 до 5. Для х и у используется приращение 0,15.

Рис. 140.2. Использование трехмерной поверхностной диаграммы для построения графика функции с двумя переменными

Значения х находятся в диапазоне А2:А22 , а значения у — в диапазоне B1:V1 .

Формула в ячейке В2 копируется в другие ячейки таблицы и имеет следующий вид: =SIN($A2)*C0S(B$1) .

Чтобы создать диаграмму, выполните приведенные ниже действия.

Выделите диапазон A1:V22 .
Выберите Вставка ? Диаграммы ? Другие ? Поверхность.
Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.

Пока значения х и у имеют равные приращения, вы можете задавать любую формулу с двумя переменными. Вам, возможно, потребуется настроить начальные значения и значение приращения для х и у. Для увеличения сглаживания используйте больше значений х и у при меньшем приращении. Вот другие формулы, которые вы можете попробовать:
=SIN(КОРЕНЬ($A2^2+B$1^2))
=SIN($A2)*COS($A2*B$1)
=COS($A2*B$1)

Формулы тригонометрии – редкая и сложная задача для работы в Майкрософт Эксель. Тем не менее, здесь есть ряд встроенных функций, помогающих в геометрических расчетах. В этом посте мы рассмотрим основные из них, которые, в компании с учебниками и справочниками, могут решить многие математические задачи. Они участвуют в расчете площади, объема, угла наклона и т.д. Если Вы школьник, студент, или работаете, например, в сфере строительства, эта статья будет Вам очень полезна.

Еще одна функция – ПИ() , не нуждается в аргументах и является зарезервированной константой. Ее результатом будет известное число 3,1415, описывающее соотношение длины окружности к ее диаметру. Эту функцию-константу можно активно применять в расчетах.

Тригонометрические функции Excel, до которых мы еще доберемся, используют запись угла в радианах. Эта общепринятая практика часто бывает ненаглядной, ведь нам привычнее выражать угол в градусах. Чтобы устранить эту проблему, есть две функции преобразования величин:

ГРУДУСЫ(Угол в радианах) – преобразует радиальные величины в градусы
РАДИАНЫ(Угол вградусах) – наоборот, преобразует градусы в радианы.

Пользуясь этими функциями, Вы обеспечиваете совместимость и наглядность вычислений.

Конечно, Вы знаете эти функции:

COS(Угол в радианах) – косинус угла, соотношение между прилежащим катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника
SIN(Угол в радианах) – синус угла, отношение противолежащего катета к гипотенузе

Еще две функции Вам так же знакомы – это тангенс и котангенс:

TAN(Угол в радианах) – отношение длины противолежащего катета к прилежащему
COT(Угол в радианах) – обратная величина – соотношение прилежащего угла к противолежащему.

Здесь так же рекомендую использовать функции преобразования величин РАДИАНЫ и ГРАДУСЫ.

Среди прочих тригонометрических функций можно выделить секанс и косеканс:

SEC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к прилежащему катету
CSC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к противолежащему катету

Легко заметить, что секанс – обратно-пропорциональная величина к косинусу, косеканс – к синусу.

Такие функции выполняют обратный расчет по отношению к перечисленным выше:

Арккосинус – это угол, который образуют прилежащий катет и гипотенуза с определенным косинусом. Чтобы посчитать эту величину, используйте функцию ACOS(Значение косинуса) .
Арксинус – угол между противолежащим катетом и гипотенузой с определенным синусом, вычисляется так: ASIN(Значение синуса) .
Арктангенс – угол между противолежащим и прилежащим катетами для заданного тангенса: ATAN(Значение тангенса) .
Арккотангенс – угол, для которого справедливо заданное значение котангенса: ACOT(Значение котангенса).

Все перечисленные функции вернут угол в радианах. Естественно, для перевода его в градусы, используем функцию ГРАДУСЫ .

Это все о тригонометрических функциях, спасибо, что читаете мой блог и развиваетесь в своих знаниях. Следующую статью я напишу об округлении чисел и очень Вам рекомендую ее не пропустить!

Если чем-то пользоваться - то запомниться любая ахинея. Например серийный номер 98 винды :) или ip адреса серверов сети. или таблица логарифмов или синусов, косинусов ит.д.

А если не пользоваться - то один фиг забудешь.

А как запомнить что 0-4 это синусы, а 4-0 это косинусы?

Наркоман штоле? Я со школы это помню и по нему куда больше инфы можно получить. 14 лет уже прошло.

А нам учительница показала этот метод. Хорошо когда имеешь хороших учителей.

так нагляднее, сразу видно, где какой угол

Некоторые путают математику с запоминанием таблиц.

действительно такой хрени не учат. там визуально показывают на примере обычного круга. Наглядно, хорошо запоминается и не забудешь. чего нельзя сказатьб об представленной тут говно-схеме.

Таблицу синусов? На пикабу? Косинусов? Пха-ха-ха-ха.

Эти дебилы на Jetix выросли

Ты им сиськи дай.

так ведь в жизни не пригодится же

Жалкая у вас школа, если такому не учат

Правда ли, что 25-летний студент Джордж Данциг случайно решил две нерешённые математические задачи?

В интернете ходит история об американском студенте, который как-то раз опоздал на пару и, приняв записанные на доске две открытые математические проблемы за домашнее задание, решил их. Мы проверили, случалось ли такое.

(Спойлер для ЛЛ: это правда)

Вот что сообщается в популярном сетевом тексте:

Не менее известен и Джордж Данциг — создатель алгоритма решения задач симплекс-методом и один из основоположников линейного программирования. Первое, что может броситься в глаза при чтении нашей истории, — то, что в ней он назван 25-летним студентом. На самом деле ещё в 22 года он получил степень бакалавра математики и физики в Мэрилендском университете, год спустя стал магистром уже в Мичиганском университете и даже успел поработать два года в Бюро трудовой статистики США. К Нейману он попросился в 1939 году уже в рамках работы над докторской.

Что же произошло дальше? Об этом почти полвека спустя, в 1986 году, сам Джордж Бернард Данциг поведал в интервью College Mathematics Journal. Вот что он рассказал:

Незадолго до интервью Данциг узнал о том, что его история превратилась в городскую легенду:

«На днях во время утренней прогулки меня окликнул Дон Кнут (знаменитый теоретик программирования Дональд Кнут. — Прим. авт.), проезжавший мимо на своём велосипеде. Он мой коллега по Стэнфорду. Он остановился и сказал: "Привет, Джордж, я недавно был в Индиане и слышал в церкви проповедь о тебе. Ты знал о том, что оказываешь влияние на христиан Среднего Запада?" Я смотрел на него, поражённый. "После проповеди, — продолжал он, — подошёл священник и спросил меня, знаю ли я Джорджа Данцига из Стэнфорда, потому что так звали человека, о котором была его проповедь".

Наш вердикт: правда (вотэтоповорот.jpg)

Ещё нас можно читать в Телеграме, в Фейсбуке и в Вконтакте.

В сообществах отсутствуют спам, реклама и пропаганда чего-либо (за исключением здравого смысла).

Почитать по теме:

Помимо того, что Алексей Савватеев делает для популяризации школьной математики, он развивает и более серьезную математику:

- является научным руководителем Кавказского Математического Центра

- разъезжает по всей стране с лекциями для школьников, студентов, взрослых, университетов, бизнесов

- делает переподготовку школьных учителей

- преподает в Московском Физико-Техническом Институте (вуз стабильно входит в топ-3 сильнейших российских вузов)

А также записал курсы лекций по следующим темам:

1. Математический анализ

2. Геометрия и группы

4. Научно-популярный курс Математика для всех

5. Целая куча онлайн-курсов для Курсеры и OpenEdu

Математика - суровая наука

Учитель хороший и уроки интересные)

Кошка Карамель нашла приют в школе в городе Бурса. Она часто присутствует на уроках и наблюдает за учениками, периодически прерываясь на сон.

Сегодня у нас простенькая задача, балла на 4 из 10. Условия выглядят следующим образом

Делаем небольшую паузу, пьём кофе, смотрим мем и начинаем решать.

Теперь можно и приступить к разбору.
Давайте разберёмся, какие остатки от деления на три может давать квадрат числа. Произвольное число даёт в остатке от деления на 3 либо 0, либо 1, либо 2. Такие числа соответственно можно записать в виде 3k, 3k+1 и 3k+2. Рассмотрим их квадраты.

Первый квадрат имеет остаток 0, а два оставшихся имеют остаток 1.
Отсюда следует, что x и y не могут одновременно давать остаток и 1 и 2 от деления на 3 ( иначе z имело бы в остатке 2, а это запрещено для квадрата, как мы увидели выше ). Следовательно, одно из этих чисел делится на 3.

Так как z^2 не может давать в остатке что-то отличное от этих чисел, то приходим к выводу, что либо левая часть даёт в сумме остаток 1 ( а это значит, что одно из чисел делится на 8), либо оба числа дают в остатке по 4. В первом случае все очевидно, так как какое-то число делится на 3 да еще одно из них на 8. Значит произведение делится на 24 (а на 12 и подавно). Во втором случае, если глянем на табличку, заметим, что оба числа будут делится на 2. Значит их произведение делится на 3 и на 4 ( по 2 от каждого числа). Таким образом xy делится на 12. Задача решена!

Литература для изучения школьной математики

Вы все еще празднуете? А мы уже ~~рубим~~ учим.

Итак, обещанный пост про математические книги. В этом посте я собрал основные книги, которые будут полезны при изучении математики. Думаю, имеет смысл раскрыть каждое направление математики отдельно, но все в один пост однозначно не влезет.

Практически все указанные книги помещены в один архив, который можно скачать по ссылке. В архив я также добавил рабочие программы (то есть, список всех тем) по математике, чтобы было проще ориентироваться. Архив достаточно большой (~236 Мб)

1. С первого по четвертый классы - математика.

Для маленьких не так уж и много хороших книг, и посоветовать можно только одно - сборник от тетеньки Петерсон. Задачи интересные и т.д., и т.п., но существует один существенный минус - странное расположение тем. Некоторые темы, которые должны идти подряд, зачем-то разнесены на большое расстояние. Но тут уж что уж.

Для каждого класса свой сборник, состоящий из трех частей. Ввиду огромного объема Петерсон в архив добавлять не буду. Если потребуется - добавлю отдельным архивом.

2. Пятый и шестой классы - математика.

Для этих классов можно порекомендовать две книги. Первая - все те же сборники от Петерсон с все тем же странным расположением тем. Вторая - великий и могучий Виленкин, у которого этой проблемы нет. В целом сборник Виленкина даже как-то поприятнее, но это все сильно субъективно.

Для каждого класса свой сборник.

3. Седьмой, восьмой и девятый классы - алгебра.

Собственно, 7-8 классы являются периодом, в который народ перестает понимать математику, поэтому тут очень важно не поплыть и четко изучить хотя бы базу. Тогда сразу же вырастут успехи в том числе по физике и по информатике. Просто ~~день~~ период такой.

Для седьмых классов есть два шикарных кустарных сборника - в архиве они обозначены как сборник 1 и сборник 2. В них собраны ровно те задачи, которые строго необходимы, без выпендры. Очень много однообразных задач как раз для тренировки. Короче, рекомендую. Один из сборников создан МИФИстами, другой учителями одной школы.

Примеры решения можно взять из книги для учителя опять же от МИФИстов. На мой взгляд, все написано очень неплохо. К сожалению, такое есть только для 7 класса.

Для восьмых и девятых классов можно обратиться к сборникам Миндюка и Макарычева. Ими я сам не пользуюсь, потому что эти сборники хорошие, но не идеальные; приходится выискивать примеры в разных источниках. Но как опорные книги для 8 и 9 классов - более чем достаточно. Книги для учителя с примерами также прилагаются.

4. Десятый и одиннадцатый классы - алгебра.

В этих классах мне очень сложно сориентироваться, потому что тут уже обычно все чихают на школьную программу и школьные учебники и начинают зубрить ЕГЭ, ибо школа, конечно, дело хорошее, но уже под попонькой медленно загорается огонек грядущего поступления. Собственно, поэтому программа чрезвычайно сильно зависит от школы и от учителя и может сильно отличаться.

В качестве опорных книг посоветую Шабунина 10-11 класс и дидактические материалы Зива-Гольдича для этих же классов. В них есть все необходимое + есть ГДЗ, что очень полезно.

5. Геометрия.

Значит, основная задача в данном предмете в 7-9 классах - выучить ряд определений, теорем и формул и научиться их применять. Здесь по большей части не требуется какого-то глубокого умения анализировать. Знаешь теорему - решаешь задачу; не знаешь - не решаешь.

Очень рекомендую три книги. Первая - Атанасян. Это широкоизвестный и очень хороший учебник, содержащий в себе превосходную базу. В общем, без лишних слов берем и используем.

Вторая - задачник Балаяна. В этом задачнике практически нет слов - все задачи представлены на уже готовых чертежах. Сборник идеально подходит для отработки теорем, потому что ускоряет процесс. Ученику не нужно тратить время на чертежи и прочее.

Но уметь правильно читать условия и делать чертежи очень важно, поэтому после Балаяна очень рекомендую обратить внимание на дидактические материалы Зива, существующие для каждого класса. У этих сборников сплошные преимущества - задачи разбиты тематически и на уровни сложности + есть сносное ГДЗ, что полезно. Рекомендую.

Собственно, для 10-11 классов рекомендации остаются все теми же - Атанасян, Балаян, Зив. Очень удобно.

6. Без привязки к классам.

Чаще всего я обращаюсь к сборникам, в которых задачи разбиты тематически, а не по классам.

а. Итак, есть три очень приличных сборника от все тех же МИФИстов, в которых собраны все "мясо", необходимое учащемуся 8 - 11 классов. Ориентированы они больше на сдачу ЕГЭ и поступление, но тем не менее более чем замечательно подойдут и обычному ученику для тренировки. Решаем, решаем и решаем.

б. Есть великолепный зубодробительный сборник Сканави, в котором большая часть задач дана с решениями. Но нужно помнить, что брать Сканави новичку - верный способ отбить все желание учиться. Этот сборник исключительно для хоть чуть-чуть понимающих в теме. От Сканави в архиве две книги.

в. Рекомендую данный сайт. В нем представлено очень много полезных материалов с удобным разбиением на темы (авторы называют их листочками). Обычно в этих листочках очень хорошо раскрыта теория (там, где она есть). Единственный минус - маловато простых задач для отработки. Сайт не для новичков.

в. И конечно же, конечно же очень рекомендую сервисы РешуОГЭ, РешуЕГЭ и РешуВПР. Все представленные там задачи актуальны и имеют решения + сам по себе очень удобный сервис для обучения. Максимально рекомендую.

В заключении скажу, что если будете искать какую-либо литературу по математике, то старайтесь искать старые книги, ибо новые - пятикратно переработанное нечто.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin a = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos a = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg a = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg a = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ? A = C B A B

cos ? A = A C A B

tg ? A = sin ? A cos ? A = C B A C

ctg ? A = cos ? A sin ? A = A C C B

sin ? B = A C A B

cos ? B = B C A B

tg ? B = sin ? B cos ? B = A C C B

ctg ? B = cos ? B sin ? B = C B A C

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( - 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; - 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ? S O A , обозначим его за a . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ? S O A = a = ? S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos a = O B O A = O B 1 = O B

sin a = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол a – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

sin 2 a + cos 2 a = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 a + cos 2 a = R 2

sin 2 a + cos 2 a = 1

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° - 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° - 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° - 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° - 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° - 0 ° ) = - cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° - 30 ° ) = - cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° - 45 ° ) = - cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° - 60 ° ) = - cos 60 °

Рассмотрим тупой угол v :

Для произвольного тупого угла v = 180 ° - a всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° - a ) = sin a

cos ( 180 ° - a ) = - cos a

tg ( 180 ° - a ) = - tg a

ctg ( 180 ° - a ) = - ctg a

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ? A = b sin ? B = c sin ? C

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ? A = b sin ? B = c sin ? C = 2 R

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Читайте также: