webdonsk.ruКак сделать сокращение дробей при умножении
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 28.08.2024
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2?2?2?2?3
136=2?2?2?17
НОД(48, 136)= 2?2?2=6
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
- Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
- Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.
Пример:
Сократите дробь \(\frac\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2?2?2?19
168=2?2?2?3?7
НОД(152, 168)= 2?2?2=6
Ответ: \(\frac\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2?2?5?5
150=2?5?5?3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2?5?5=50
Получили несократимую дробь \(\frac\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac\) на 2.
Получили сократимую дробь \(\frac\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac\) и \(\frac\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac\):
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac\) б) \(\frac\) в) \(\frac\) г) \(\frac\)
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Что такое "сокращение дробей"
Сократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ? 2 24 ? 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .
Приведение дробей к несократимому виду
В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
a b = a ? Н О Д ( a , b ) b ? Н О Д ( a , b )
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:
6 24 = 6 ? 6 24 ? 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
- Найти НОД числителя и знаменателя.
- Разделить числитель и знаменатель на их НОД.
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Дана дробь 182 195 . Сократим ее.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д ( 182 , 195 ) = 13
Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:
182 195 = 182 ? 13 195 ? 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
Сократим дробь 2000 4400 .
Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:
2000 4400 = 2000 ? 100 4400 ? 100 = 20 44
Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби 20 44 делятся на 2 . Сокращаем и приходим к виду:
20 44 = 20 ? 2 44 ? 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
Перед тем, как начать изучать тему умножения дробей напомним, что дробь - это отношение числителя к его знаменателю. Разберем также особенности деления и умножения сложных и больших дробей и сокращение дробей. В итоге сформулируем несколько правил, которые стоит придерживаться.
Умножение и деление дробей
Для того чтобы перемножить 2 и более дробей, нужно перемножить их все числители и записать в числитель получившийся результат, со знаменателем также просто, перемножаем все знаменатели дробей и записываем результат в знаменатель. Приведем простой пример, где мы рассмотрим перемножение 2-ух дробей:
Деление дробей можно считать операцией обратной перемножению 2 и более дробей, если мы возьмём деление одной дроби на другую, то мы должны “перевернуть” вторую дробь, не трогая при этом первую дробь.
(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25 Важно помнить это свойство дроби при делении.
Умножение и деление с целым числом
Что делать если попалось умножение или деление с целым числом. В этом случае мы должны представить целое число как дробь, это можно сделать если взять это число и поделить на единицу, применяя правило деления или умножения как это написано сверху.
Например: 14 / (3/7 ) = (14/1) / (3/7) = (14*7) / (1*3) = 98/3
14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)
Как видно в этих примерах всё сводится к обычному умножению или делению дробей.
Умножение и деление больших дробей
В старшей школе и на 1 курсах ВУЗов мы часто имеем дело с трёхэтажными дробями, а то и четырёхэтажными
В этом случае мы используем правило деления через 2 точки, “находя главное деление”, а после этого используем известное нам правило умножение или деления дробей, как видно из примера сделать это несложно.
Покажем это на примере :
- = (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35
Здесь главное деление находится посередине, относительно него мы и будем делить, если мы сможем понять где находится главное деление или отношение.
Если у нас имеется 3 и более дроби, в которых мы не найдём скобок, нам нужно будет поступить следующим образом, то мы должны умножать или делить слева направо , как в любом другом примере, не содержащих дробей.
(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3) )*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6
Пример довольно всё хорошо объясняет нам.
Ещё существует один способ, который используется во множестве примеров деление единицы на нашу дробь, происходит “переворачивание” т.е. знаменатель попадёт в числитель, а числитель попадёт в знаменатель.
1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / ( 1*3) = 4/3 Такой приём используется также в доказательствах тождеств
Сокращение дробей при умножении и делении
Очень важно во время умножения и деления мы имеем право сокращать числитель со знаменателем, значительно сокращая нашу дробь
Также результат мы можем представить в виде десятичной дроби, это просто сделать, используя калькулятор
Несколько полезных советов
Также мы советуюм всегда придерживаться нескольких правил:
1) Всегда сокращаем дробь до упора, таким образом мы значительно облегчим себе задачу.
2) Операцию деления единицы на дробь мы считаем в уме, просто переворачивая дробь.
3) Самое главное это аккуратность и внимательность, НИКОГДА не считайте в уме слишком много, так как огромное количество ошибок происходит именно когда человек, не считая нужным написать лишнюю строчку, совершает массу глупых ошибок.
Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели, первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.
Правила умножения дробей
Произведение двух дробей равно дроби. В числителе которой произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей.
Как умножать обыкновенные дроби
Для умножения обыкновенных дробей нужно найти произведение числителей и произведение знаменателей. Первое произведение записать числителей а второе знаменателем.
Разберём пример: умножим дроби 1/4 x 1/3 . Для этого перемножим числители 1 x 1 = 1 и знаменатели 4 x 3 = 12 в итоге у нас получится дробь 1/12
Как умножать натуральное число на дробь
Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно числитель умножить на это число а знаменитель оставить без изменения.
Как умножать 3 и более дробей
При умножении 3 и более дробей мы пользумеся теми же правилами что и при умножении двух дробей.
Разберём пример: умножим правильную дробь 1/4 на натуральное число 5 и на смешанную дробь 3 целые 1/8 .
Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 3 целые 1/8 = 25/8 . Затем перемножить числители 1*5*25 = 125 и знаменатели 4*8 = 32 . Полученное записать в виде дроби 125/32 . При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить смешанную дробь на целое число
Чтобы умножить смешанную дробь на целое число нужно смешанную дробь перевести в неправильную. Затем числитель неправильной дроби умножить на целое число. Знаменатель оставить без изменения.
Разберём пример: умножим смешанную дробь 2 целые 1/4 на целое число 6 .
Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 2 целые 1/4 = 9/4 . Затем умножить числитель неправильной дроби на целое число 9*6 = 54 а знаменатель останется без изменения 4. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Читайте также: