Как сделать систему уравнений

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 03.09.2024

Пример:
Пара значений $x=3$;$y=-1$ является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо $x$ и $y$, оба уравнения превратятся в верные равенства $\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end$

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "$x=3$; $y=-1$" пишут так: $(3;-1)$.

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел $(x_0;y_0)$

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:$\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end$.

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, ($3$ и $3$) или противоположны по значению (например, $5$ и $-5$). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на $2$, а второе - на $3$.

$\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end$$\Leftrightarrow$$\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end$$\Leftrightarrow$

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Ответ запишите парой чисел $(x_0;y_0)$.

Пример. Решите систему уравнений: $\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end$

Приводим систему к виду $\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end$ преобразовывая второе уравнение.

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на $8$, чтобы найти $y$.

Игрек нашли. Теперь найдем $x$, подставив вместо игрека $-2$ в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции $y=kx+b$.

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений $x_0$ и $y_0$ в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему $\begin3x-8=2y\\x+y=6\end$, мы получили ответ $(4;2)$. Проверим его, подставив вместо икса $4$, а вместо игрека $2$.

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: $\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end$

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на $2$.

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим $6x-13$ вместо $y$ в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем $117$ вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на $67$.

Ура, мы нашли $x$! Подставим его значение во второе уравнение и найдем $y$.

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

При решении системы уравнений требуется найти значение более, чем одной переменной. Для решения можно использовать сложение, вычитание, умножение и замену. Как именно решать системы уравнений, вы узнаете из этой статьи.

Запишите уравнения так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. Напишите знак вычитания ( - ) за пределами второго уравнения.
Пример: Если уравнения: 2x + 4y = 8 и 2x + 2y = 2, то одно из них надо записать над другим и указать знак минус.
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
- 8 - 2 = 6
  - 2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
  - 2y = 6
  - Разделите 2y и 6 на 2 и получится y = 3
  - Подставляем y = 3 в уравнение 2x + 2y = 2 и находим x.
  - 2x + 2(3) = 2
  - 2x + 6 = 2
  - 2x = -4
  - x = - 2
    - Система уравнений решена через вычитание: (x, y) = (-2, 3).
    - Подставляем (-2, 3) вместо (x, y) в уравнение 2x + 4y = 8.
      - 2(-2) + 4(3) = 8
      - -4 + 12 = 8
      - 8 = 8
      - 2(-2) + 2(3) = 2
      - -4 + 6 = 2
      - 2 = 2
      - Запишите уравнения так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. Напишите знак сложения ( + ) за пределами второго уравнения.
      - Пример: Если нам даны уравнения 3x + 6y = 8 и x - 6y = 4, то одно из них надо записать над другим и указать знак плюс.
        
        3x + 6y = 8
        
        +(x - 6y = 4)
        
        3x + x = 4x
        
        6y + -6y = 0
        
        8 + 4 = 12
        
        Получается:
        
        3x + 6y = 8
        
        +(x - 6y = 4)
        
        = 4x + 0 = 12
        
        4x + 0 = 12
        
        4x = 12
        
        Разделите 4x и 12 на 3 и получится x = 3
        
        Подставляем x = 3 в уравнение x - 6y = 4 и находим y.
        
        3 - 6y = 4
        
        -6y = 1
        
        Разделите -6y и 1 на -6 и получится y = -1/6
        
        Система уравнений решена через сложение (x, y) = (3, -1/6).
        
        Подставьте (3, -1/6) вместо (x, y) в уравнение 3x + 6y = 8.
        
        3(3) + 6(-1/6) = 8
        
        9 - 1 = 8
        
        8 = 8
        
        3 - (6 * -1/6) =4
        
        3 - - 1 = 4
        
        3 + 1 = 4
        
        4 = 4
        
        3x + 2y = 10
        
        + 4x - 2y = 4
        
        7x + 0 = 14
        
        7x = 14
        
        Теперь решаем оставшееся уравнение. Решаем и находим значение оставшейся переменной. Если 7x = 14, то x = 2.
        
        x = 2 ---> 2x - y = 2
        
        4 - y = 2
        
        -y = -2
        
        y = 2
        
        Система уравнений была решена через умножение. (x, y) = (2, 2)
        
        Подставьте (2, 2) вместо (x, y) в уравнение 3x + 2y = 10.
        
        3(2) + 2(2) = 10
        
        6 + 4 = 10
        
        10 = 10
        
        Подставьте (2, 2) вместо (x, y) в уравнение 2x - y = 2.
        
        2(2) - 2 = 2
        
        4 - 2 = 2
        
        2 = 2
        
        Если мы имеем дело с уравнениями 2x + 3y = 9 и x + 4y = 2, то перенести надо переменную х во втором уравнении.
        
        x + 4y = 2
        
        x = 2 - 4y
        
        x = 2 - 4y --> 2x + 3y = 9
        
        2(2 - 4y) + 3y = 9
        
        4 - 8y + 3y = 9
        
        4 - 5y = 9
        
        -5y = 9 - 4
        
        -5y = 5
        
        -y = 1
        
        y = - 1
        
        y = -1 --> x = 2 - 4y
        
        x = 2 - 4(-1)
        
        x = 2 - -4
        
        x = 2 + 4
        
        x = 6
        
        Вы решили систему уравнений через замену. (x, y) = (6, -1)
        
        Подставьте (6, -1) вместо (x, y) в уравнении 2x + 3y = 9.
        
        2(6) + 3(-1) = 9
        
        12 - 3 = 9
        
        9 = 9
        
        Системы линейных уравнений решаются одним из четырех способов, вам надо только выбрать наиболее подходящий.
        
        Дополнительные статьи
        
        Об этой статье
        
        Была ли эта статья полезной?
        
        Куки помогают сделать WikiHow лучше. Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с нашими куки правилами.
        
        Вариант 1
        Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
        Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
        Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
        Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
        
        Вариант 2
        Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
        Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
        Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
        Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.
        
        п.2. Метод сложения
        
        Шаг 1. Умножить одно и второе уравнение на уравнивающие коэффициенты (если необходимо).
        Шаг 2. Сложить (вычесть) левые и правые части уравнений.
        Шаг 3. Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
        Шаг 4. Найти соответствующие значения второй переменной.
        
        п.3. Метод замены переменных
        
        Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
        А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.
        
        п.4. Графический метод
        
        Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.
        
        п.5. Примеры
        
        Пример 1. Решите систему уравнений:
        а) $ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $
        Решаем методом подстановки: $ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $
        Для нижнего уравнения: $ \mathrm $
        Подставляем в верхнее уравнение: $ \mathrm $
        
        б) $ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $
        Замена переменных: $ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $
        Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
        x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
        Подставляем: $ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $
        Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: $ \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. $
        
        Как решить систему линейных алгебраических уравнений? Методы решения линейных уравнений по Гауссу, Крамеру, метод почленного вычитания. Матрицы системы линейных уравнений.
        
        Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм достаточно прост и заключается в следующем:
        
        одна переменная из одного линейного уравнения выражается через другую переменную;
        
        выраженная переменная подставляется в другое уравнение системы;
        
        полученное уравнение, содержащее только одну переменную, решается относительно этой переменной;
        
        значение переменной, полученное в пункте 3, подставляется в выражение для другой (первой) переменной (см. пункт 1).
        
        Для примера применим данный метод решения к следующей системе уравнений:
        
        Согласно первому пункту алгоритма решения СЛАУ нужно выразить одну переменную через другую. В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить переменную y через переменную x:
        
        Далее подставим переменную y, выраженную через x, в первое уравнение системы. Получим:
        
        Тогда можно записать систему уравнений, равносильную первой:
        
        Раскроем скобки и приведём первое уравнение системы к следующему виду:
        
        Теперь найдём значение y, подставив значение переменной x в выражение для второй переменной:
        
        Применив данный метод к рассматриваемой системе линейных уравнений, мы нашли пару чисел (7;3), являющуюся её решением.
        
        Где учитесь?
        
        Для правильного составления решения, укажите:
        
        Система линейных уравнений с двумя переменными
        
        Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
        
        Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и является верным числовым равенством.
        
        Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент — его графиком будет прямая линия.
        
        Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ? 0, b ? 0:
        
        Дать переменной конкретное значение x = x?, и найти значение y = y? при
        
        Дать другое значение x = x?, и найти соответствующее значение y = y? при ax? + by + c = 0.
        
        Построить на координатной плоскости xOy точки: (x?; y?); (x?; y?).
        
        Проводим прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
        
        Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера
        
        Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с понятием определителя.
        
        Определение
        
        Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.
        
        Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице:
        
        Значение определителя системы в этом случае находится по формуле:
        
        Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его D. Например, у рассмотренной выше системы уравнений:
        
        главный определитель будет иметь вид:
        
        Найдём его значение:
        
        Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:
        
        Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения системы. Так, в определитель D? первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Dу вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.
        
        Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
        
        Отметим, что данный метод решения СЛАУ можно применять лишь в тех случаях, когда D ? 0.
        
        Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные значения определителей:
        
        Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.
        
        Обобщим алгоритм нахождения решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера. Пусть дана система линейных уравнений:
        
        Читайте также:
        
        
        Как сделать линию в повер поинт
        
        Как сделать среды
        
        Как сделать тест приборной панели калина 1
        
        Как сделать скрытый майнер в файле txt
        
        Как сделать так чтобы безе не прилипало к пергаменту