webdonsk.ruКак сделать сечение шара
Добавил пользователь Дмитрий К. Обновлено: 01.09.2024
- в эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций.
Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную какой-либо плоскости проекций, и построить окружность, на которой находится эта точка
На рисунке 42 показано построение проекций линии сечения шара фронтально проецирующей плоскость.
Построение начинаем с определения характерных точек. Точки 1 и 2 находятся на фронтальном очерке шара (главном меридиане). Эти точки – концы малой оси эллипса, а также самая высокая и самая низкая точки. Их горизонтальные и профильные проекции находятся на соответствующих окружностях шара, которые на горизонтальной и профильной плоскостях совпадают с осями. Точки 3 и 4 находятся на профильном очерке шара (профильном меридиане) и служат для определения видимости на профильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции этих точек находятся по фронтальным и профильным. Точки 5 и 6 находятся на горизонтальном очерке шара (экваторе) и служат для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций. Профильные проекции этих точек находим по горизонтальным и фронтальным проекциям. Точки 7 и 8 принадлежат концам большой оси эллипса.
Они строятся следующим образом. Вначале найдена фронтальная проекция точки 0', центраокружности сечения, как середина отрезка 1'2', затем ее горизонтальная проекция точка 0. Отрезки 0?1? и 0'?2' на фронтальной проекции равны истиной величине радиуса этой окружности. На горизонтальной проекции диаметр окружности изображается без искажения, поэтому откладываем отрезки 07 и 08, равные 0'1'. Для точного построения линии сечения необходимо найти несколько дополнительных точек. Для их построения используются вспомогательные секущие плоскости (например, плоскости горизонтального уровня T и P, которые в сечении дают окружность на горизонтальной плоскости. Полученные точки соединяют плавной кривой с учетом их видимости.
Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О' основание этого перпендикуляра.
Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б . По теореме Пифагора 0X2 = 00'2+О'Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О' на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О' и радиусом .
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.
Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.
Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:
в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:
Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.
Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересекать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару
Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R (рис. 455), то радиус круга в сечении будет. Отношение площади этого круга к площади большого круга равно
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Теоретическая часть:
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также является радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2 R .
Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.
Шар – тело, ограниченное сферой.
Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.
В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С( x 0 ; y 0 ; z 0 ) имеет вид
Возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости:
1. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
3. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Возможны три случая взаимного расположения сферы и прямой:
1. Если расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса сферы, то прямая пересекает сферу.
2. Если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу сферы, то прямая и сфера имеют только одну общую точку.
3. Если расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса сферы, то прямая и сфера не имеют общих точек.
Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а общая точка – точкой касания прямой и сферы.
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой; если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.
Отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.
Сечение шара плоскостью есть круг.
Формула для вычисления площади сферы радиуса R : .
Практическая часть:
Домашнее задание
Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм; в) м; г) см.
Пусть плоскость a пересекает сферу W(O,R). Из центра O опустим перпендикуляр OC на плоскость a.
Соединим произвольную точку M линии пересения плоскости a со сферой W(O,R) с точками O и C. Т.к. OC ? a, то OC ? CM.
В прямоугольном треугольнике ?OCM CM 2 = OM 2 - OC 2 . Т.к. OM и OC - величины постоянные, то и CM - величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости a и сферы W(O,R) равноудалены от точки C, поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке C и радиусом r = CM.
Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.
Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).
Часть шара, отсекаемая от него какой- нибудь плоскостью, называется шаровым сегментом. (Рис. 2). Тело, ограниченное конусом с вершиной в центре шара и соответствующей его основанию сегментной поверхностью, называется простым шаровым сектором. (Рис. 3). Часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями называется шаровым слоем. (Рис. 4).
Построение ортогональных проекций шара показано на рис. 5.
Построение точек на поверхности шара. Рис. 6.
Все горизонтальные окружности на поверхности шара (на сфере) проецируются на плоскость Н без искажений, а на плоскости V и W - в виде прямых, параллельных осям проекций 0X и 0Y и равных диаметрам соответствующих окружностей.
Все фронтальные или профильные окружности на сфере проецируются на плоскости V или W в натуральную величину, а на плоскости H и W или V соответственно в прямые линии, равные диаметру окружностей и параллельные осям проекций 0X и 0Z.
Зная эти свойства горизонтальных, фронтальных и профильных окружностей на поверхности шара, можно находить недостающие проекции точки, лежащей на сфере, по одной проекции.
Шар в прямоугольной изометрии изображается окружностью, диаметр которой равен 1,22 истинного диаметра шара. Для построения шара в аксонометрии, обычно строят три взаимно перпендикулярные сечения шара, параллельные аксонометрическим плоскостям проекций и к ним проводят огибающую очерковую линию шара.
В прямоугольной изометрии точки на сфере строятся методом сечений. Проведем в ортогональных проекциях горизонтальную секущую плоскость через фронтальную проекцию искомой точки А (Рис. 6).
Построим полученную окружность на аксонометрии шара вписав ее по восьми точкам в квадрат, который будет располагаться на соответствующем уровне от центра шара.
Замерим на плане координату Ха точки А по оси ОХ, и перенесем ее на диаметр оси окружности в аксонометрии, который параллелен аксонометрической оси ОХ. Через полученную точку проведем линию параллельную оси ОУ.
Пересечение этой линии с построенным ранее эллипсом определит положение точки А, лежащей на поверхности шара. (Рис. 8).
На рис. 9 приведен пример построения сечения шара фронтально проецирующей плоскостью.
Как известно любая плоскость рассекает шар по окружности. В данном случае секущая плоскость Pv рассекает шар по окружности, которая на плоскости V изображается прямой 1'-2', равной диаметру окружности сечения. На плоскостях H и W она спроецируется в эллипсы, за исключением положений фронтально проецирующей плоскости параллельного или перпендикулярного другим плоскостям проекций. Большими осями эллипсов на плоскостях проекций H и W будут горизонтальная и профильная проекция диаметра сечения 3-4, который на фронтальную плоскость проекций проецируется в точки 3'-(4'). Малыми осями эллипсов на плоскости H и W будут соответствующие проекции диаметра 1-2, которые строятся при помощи линий связи. Для более точного построения эллипсов необходимо взять дополнительные точки на прямой 1'-2' и найти их проекции на плоскостях проекций H и W, как было указано на рис. 8. Эллипсы на плоскостях H и W будут горизонтальной и профильной проекцией сечения шара плоскостью Р.
Истинную величину сечения определим, совместив секущую плоскость Р с плоскостью V, вращая ее вокруг фронтального следа плоскости Pv. Из середины прямой 1'-2' восстановим перпендикуляр к прямой Pv и проведем через него линию параллельную Pv. Из полученной точки пересечения поведем окружность радиусом равным половине диаметра 1'-2'. Круг ограниченный этой окружностью и будет натуральной величиной сечения шара плоскостью Р.
Читайте также: