Как сделать расширенную матрицу

Обновлено: 10.10.2024

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица эквивалентной . Это обозначается ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля ( ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом ( ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

Решение. В первом столбце матрицы . Делим все элементы первой строки на (или, что то же 1 1. самое, умножаем на ):

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

В первом столбце матрицы . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент — число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

В первом столбце матрицы выбираем ведущий элемент . Первая строка — ведущая. Делим ее элементы на . Получаем

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид — ступенчатый.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

Решение. Первый столбец матрицы

Берем в качестве ведущего элемент . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке — первую, умноженную на (-2); к четвертой строке — первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы — это матрица (размеров ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при ).

Пример 1.32. Привести матрицу к простейшему виду.

Решение. В качестве ведущего элемента возьмем . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

Таким образом, исходная матрица

Свойства элементарных преобразований матриц

Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .

Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число 2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.

Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

Метод Гаусса

Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее метода Крамера, он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
Система имеет бесконечное множество решений;
Решений нет, система несовместна.

Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

Прямой ход метода Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

Что можно делать:

Можно переставлять строки матрицы местами;
Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
Нулевые строки удаляются;
Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход метода Гаусса

После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн. Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

Пример решения системы уравнений методом Гаусс

А теперь – пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

Сначала запишем расширенную матрицу:

Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Вуаля – система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набьете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! Заказать недорого реферат вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса.

Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными. Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x₁ из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x₂ из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x_n. После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x_n; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x_n_–1 и т.д. Последним находим x₁ из первого уравнения.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:

называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы.

Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы:

получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца:

Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только

Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя!

Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной:

Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x₃= –1; из третьего x₄ = –2, из второго x₂ = 2 и из первого уравнения x₁= 1. В матричном виде ответ записывается в виде

Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна.

Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна. ?

Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы:

В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу:

Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными, будут x₃ и x₄. Тогда

Записанное подобным образом решение называется общим, поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. ?

Вернуться на главную страницу. или ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Линейная алгебра, которая преподается в вузах на разных специальностях, объединяет немало сложных тем. Одни из них связаны с матрицами, а также с решением систем линейных уравнений методами Гаусса и Гаусса – Жордана. Не всем студентам удается понять эти темы, алгоритмы решения разных задач. Давайте вместе разберемся в матрицах и методах Гаусса и Гаусса – Жордана.

Основные понятия

Под матрицей в линейной алгебре понимается прямоугольный массив элементов (таблица). Ниже представлены наборы элементов, заключенные в круглые скобки. Это и есть матрицы. Из приведенного примера видно, что элементами в прямоугольных массивах являются не только числа. Матрица может состоять из математических функций, алгебраических символов.

Для того чтобы разобраться с некоторыми понятиями, составим матрицу A из элементов a_ij. Индексы являются не просто буквами: i – это номер строки в таблице, а j – это номер столбца, в области пересечения которых располагается элемент a_ij. Итак, мы видим, что у нас получилась матрица из таких элементов, как a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ и т. д. Буквой n мы обозначили число столбцов, а буквой m – число строк. Символ m x n обозначает размерность матрицы. Это то понятие, которое определяет число строк и столбцов в прямоугольном массиве элементов.

Необязательно в матрице должно быть несколько столбцов и строк. При размерности 1 x n массив элементов является однострочным, а при размерности m x 1 – одностолбцовым. При равенстве числа строчек и числа столбцов матрицу именуют квадратной. У каждой квадратной матрицы есть определитель (det A). Под этим термином понимается число, которое ставится в соответствие матрице A.

Еще несколько важных понятий, которые нужно запомнить для успешного решения матриц, – это главная и побочная диагонали. Под главной диагональю матрицы понимается та диагональ, которая идет вниз в правый угол таблицы из левого угла сверху. Побочная диагональ идет в правый угол вверх из левого угла снизу.

Ступенчатый вид матрицы

Взгляните на картинку, которая представлена ниже. На ней вы увидите матрицу и схему. Разберемся сначала с матрицей. В линейной алгебре матрица подобного вида называется ступенчатой. Ей присуще одно свойство: если a_ij является в i-й строке первым ненулевым элементом, то все другие элементы из матрицы, стоящие ниже и левее a_ij, являются нулевыми (т. е. все те элементы, которым можно дать буквенное обозначение a_kl, где k>i, а l -1 , при этом обязательно выполняется условие: A x A -1 = A -1 x A = E, т. е. произведение этих матриц равно единичной матрице (у единичной матрицы элементы главной диагонали являются единицами, а остальные элементы равны нулю).

Важный нюанс: в линейной алгебре есть теорема существования обратной матрицы. Достаточное и необходимое условие существования матрицы A -1 – невырожденность матрицы A. При невырожденности det A (определитель) не равен нулю.

Основные шаги, на которых основывается метод Гаусса – Жордана:

Взгляните на первую строку конкретной матрицы. Метод Гаусса – Жордана можно начинать применять, если первое значение не равно нулю. Если же на первом месте стоит 0, то поменяйте строки местами так, чтобы первый элемент имел отличное от нуля значение (желательно, чтобы число было ближе к единице).
Разделите все элементы первой строки на первое число. У вас получится строка, которая начинается с единицы.
Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на первый элемент второй строки, т. е. в итоге у вас получится строка, которая начинается с нуля. Аналогичные действия выполните с остальными строчками. Для того чтобы по диагонали получались единицы, делите каждую строку на ее первый ненулевой элемент.
В итоге вы получите верхнюю треугольную матрицу методом Гаусса – Жордана. В ней главная диагональ представлена единицами. Нижний угол заполнен нулями, а верхний угол – разнообразными значениями.
Из предпоследней строки вычтите последнюю строчку, умноженную на необходимый коэффициент. У вас должна получиться строка с нулями и единицей. Для остальных строк повторите аналогичное действие. После всех преобразований получится единичная матрица.

Пример нахождения обратной матрицы методом Гаусса – Жордана

Для вычисления обратной матрицы нужно записать расширенную матрицу A|E и выполнить необходимые преобразования. Рассмотрим простой пример. На рисунке ниже представлена матрица A.

Для начала найдем определитель матрицы методом Гаусса (det A). Если этот параметр не окажется равным нулю, то матрица будет считаться невырожденной. Это позволит нам сделать вывод о том, что у A точно есть A -1 . Для вычисления определителя преобразуем матрицу до ступенчатой формы элементарными преобразованиями. Подсчитаем число K, равное числу перестановок строк. Строки мы меняли местами всего 1 раз. Вычислим определитель. Его значение будет равно произведению элементов главной диагонали, умноженному на (–1) K . Результат вычисления: det A = 2.
Составим расширенную матрицу, добавив к исходной матрице единичную матрицу. Полученный массив элементов будем использовать для нахождения обратной матрицы методом Гаусса – Жордана.
Первый элемент в первой строке равен единице. Нас это устраивает, т. к. не нужно переставлять строки и делить данную строку на какое-нибудь число. Начинаем работать со второй и третьей строками. Чтобы первый элемент во второй строке превратился в 0, отнимем от второй строки первую строчку, умноженную на 3. Из третьей строчки вычтем первую (умножения не требуется).
В получившейся матрице второй элемент второй строчки равен –4, а второй элемент третьей строчки равен –1. Поменяем строки местами для удобства. Из третьей строчки вычтем вторую строчку, умноженную на 4. Вторую строчку разделим на –1, а третью – на 2. Получим верхнюю треугольную матрицу.
Из второй строчки отнимем последнюю строчку, умноженную на 4, из первой строчки – последнюю строчку, умноженную на 5. Далее вычтем из первой строчки вторую строчку, умноженную на 2. С левой стороны мы получили единичную матрицу. Справа находится обратная матрица.

Пример решения СЛУ методом Гаусса – Жордана

На рисунке представлена система линейных уравнений. Требуется найти значения неизвестных переменных, используя матрицу, метод Гаусса – Жордана.

Составим расширенную матрицу. Для этого вынесем в таблицу коэффициенты и свободные члены.
Решим матрицу методом Гаусса – Жордана. Из строки № 2 вычтем строку № 1. Из строки № 3 вычтем строку № 1, предварительно умноженную на 2.
Поменяем местами строки № 2 и 3.
От строки № 3 отнимем строку № 2, умноженную на 2. Разделим полученную третью строку на –1.
От строки № 2 отнимем строку № 3.
От строки № 1 отнимем строку № 2, умноженную на –1. Сбоку у нас получился столбик, состоящий из цифр 0, 1 и –1. Из этого делаем вывод, что x₁ = 0, x₂ = 1 и x₃ = –1.

При желании можно проверить правильность решения, подставив вычисленные значения в уравнения:

0 – 1 = –1, первое тождество из системы является верным;
0 + 1 + (–1) = 0, второе тождество из системы является верным;
0 – 1 + (–1) = –2, третье тождество из системы является верным.

Вывод: используя метод Гаусса – Жордана, мы нашли правильное решение квадратной системы, объединяющей линейные алгебраические уравнения.

Онлайн-калькуляторы

Жизнь современной молодежи, обучающейся в вузах и изучающей линейную алгебру, значительно упростилась. Еще несколько лет назад находить решения систем методом Гаусса и Гаусса – Жордана приходилось самостоятельно. Одни студенты успешно справлялись с задачами, а другие путались в решении, делали ошибки, просили у однокурсников помощи. Сегодня можно при выполнении домашнего задания пользоваться онлайн-калькуляторами. Для решения систем линейных уравнений, поиска обратных матриц написаны программы, которые демонстрируют не только правильные ответы, но и показывают ход решения той или иной задачи.

В интернете есть немало ресурсов со встроенными онлайн-калькуляторами. Матрицы методом Гаусса, системы уравнений решаются этими программами за несколько секунд. Студентам требуется только указывать необходимые параметры (например, количество уравнений, количество переменных).

Основные понятия

Вам будет интересно: Закон Максвелла. Распределение Максвелла по скоростям

Для того чтобы разобраться с некоторыми понятиями, составим матрицу A из элементов aij. Индексы являются не просто буквами: i – это номер строки в таблице, а j – это номер столбца, в области пересечения которых располагается элемент aij. Итак, мы видим, что у нас получилась матрица из таких элементов, как a11, a21, a12, a22 и т. д. Буквой n мы обозначили число столбцов, а буквой m – число строк. Символ m x n обозначает размерность матрицы. Это то понятие, которое определяет число строк и столбцов в прямоугольном массиве элементов.

Ступенчатый вид матрицы

Взгляните на картинку, которая представлена ниже. На ней вы увидите матрицу и схему. Разберемся сначала с матрицей. В линейной алгебре матрица подобного вида называется ступенчатой. Ей присуще одно свойство: если aij является в i-й строке первым ненулевым элементом, то все другие элементы из матрицы, стоящие ниже и левее aij, являются нулевыми (т. е. все те элементы, которым можно дать буквенное обозначение akl, где k>i, а l Понравилась статья? Поделись с друзьями:

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

Системой уравнений называется набор из двух или более уравнений, которые имеют общий набор неизвестных и, следовательно, общее решение. Графиком системы линейных уравнений являются две прямые, а решением системы является точка пересечения этих прямых. Для решения таких систем линейных уравнений полезно и удобно пользоваться матрицами.

Например, для линейного уравнения 2x + 4y = 8, x и y являются переменными, 8 является постоянной, а числа 2 и 4 - коэффициентами.

Форма для системы линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с двумя переменными может быть записана следующим образом: ax + by = p, cx + dy = q. Любые постоянные (p, q) могут быть равны нулю, но каждое из уравнений должно содержать хотя бы одну переменную (x, y).

Читайте также: