Как сделать проверку уравнения 9 класс

Добавил пользователь Cypher
Обновлено: 02.09.2024

Данное уравнение является линейным. Преобразуем его, заметив, что \(3,75=3\frac34=\frac\) :

\[\dfrac4x-\dfrac23x=-\dfrac4 \ \bigg|\cdot 12 \quad\Leftrightarrow\quad 45x-8x=-37\cdot 3\quad\Leftrightarrow\quad 37x=-37\cdot 3 \quad\Leftrightarrow\quad x=-3.\]

(Чтобы убедиться в правильности найденного корня, можно сделать проверку, подставив его в исходное уравнение.)

Найдите корень уравнения \(\dfracx = 4\dfrac\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: \(2x = 37\) , что равносильно \(x = 18,5\) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения \(-\dfracx = 5\dfrac\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на \(-3\) . После умножения: \(4x = -17\) , что равносильно \(x = -4,25\) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения \(x-2=-3x\) .

Перенесем слагаемые с неизвестной в левую часть, а числа – в правую: \[x+3x=2\quad\Leftrightarrow\quad 4x=2\quad \Leftrightarrow\quad x=0,5\]

Перенесем слагаемые с неизвестной в левую часть, а числа – в правую: \[7x-9x=4-8\quad\Leftrightarrow\quad -2x=-4\quad \Leftrightarrow\quad x=2\]

Найдите корень уравнения \(5(x+4)=-9\) .

Раскроем скобки, а затем перенесем слагаемые с неизвестной в левую часть, а числа – в правую: \[5x+20=-9\quad\Leftrightarrow\quad 5x=-9-20\quad \Leftrightarrow\quad x= -\dfrac5=-\dfrac\quad\Leftrightarrow\quad x=-5,8\]

Найдите корень уравнения \(x-\dfrac x=\dfrac\) .

Приведем в левой части слагаемые к общему знаменателю: \[\dfrac-\dfrac x=\dfrac \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac=\dfrac\quad \Leftrightarrow\quad 11x=55\quad\Leftrightarrow\quad x=5\]

Основными уравнениями школьной алгебры являются линейные и квадратные. Все остальные уравнения путём различных тождественных преобразований или путём соответствующей подстановки сводятся к ним.

Линейные уравнения

Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.
Решение:
– х + 5,18 = 11,58;
– х = – 5,18 + 11,58;
– х = 6,4;
х = – 6,4.
Ответ: – 6,4.

Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.
Решение:
3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;
3 – 5х – 5 = 6 – 4х;
– 5х + 4х = 5 – 3+6;
– х = 8;
х = – 8.
Ответ: – 8.

. Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.
2х + 3(х – 1) = 12; 2х + 3х – 3 =12; 5х = 12 + 3; 5х = 15; х = 3.
Ответ: 3.

Пример 4. Решите систему
Решение:
Из уравнения 3х – у = 2 найдём у = 3х – 2 и подставим в уравнение 2х + 3у = 5.

Получим: 2х + 9х – 6 = 5; 11х = 11; х = 1.
Следовательно, у = 3?1 – 2; у = 1.
Ответ: (1; 1).
Замечание. Если неизвестные системы х и у, то ответ можно записать в виде координаты точки.

Квадратные уравнения

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у?(у + 2) = 0.

Помните! Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, но второй при этом имеет смысл.
y₁ = 0, или у + 2 = 0;
у₂ = – 2.
Ответ: – 2; 0.

Пример 6. Решите уравнение 18 – х 2 = 14.
Решение:
18 – х 2 = 14 – неполное квадратное уравнение; – х 2 = 14 – 18;
– х 2 = – 4; х 2 =4; х = ± 2.
Ответ: ± 2.

Пример 7. Решите уравнение х 2 + 6х – 3 = 2х 3 .
Решение:
х 2 + 6х – 3 = 2х 3 – уравнение 3-ей степени. Оно решается разложением на множители: х 2 – 2х 3 + 6х – 3 = 0;
– х 2 (2х – 1 ) + 3(2х – 1) = 0;
(2х – 1)(3 – х 2 ) = 0;
2х – 1 = 0 или 3 – х 2 =0;
х₁ = 0,5; х_2,3 = .
Ответ: 0,5; .

Пример 8. Решите уравнение (х 2 – 5х) 2 – 30 (х 2 – 5х) – 216 = 0.
Решение:
(х 2 – 5х) 2 – 30 (х 2 – 5х) – 216 = 0 – биквадратное уравнение. Такое уравнение решается методом подстановки.

Замечание. Метод подстановки позволяет перейти к уравнению, равносильному данному.
Пусть х 2 – 5х = t. Тогда уравнение примет вид t 2 – 30t – 216 = 0;

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

– больший корень.

Ответ:.

x + у = -7/2 не удовлетворяет условию задачи, так как хотя бы одно из слагаемых в данной сумме будет нецелым числом.

Рациональные уравнения

При решении рационального уравнения необходимо исключать те значения неизвестного, при которых знаменатель обращается в нуль.

Область определения уравнения х – 2 ? 0. В данном случае левую часть уравнения можно сократить на ( ).

Так как x 2 +5 быть равным нулю не может, то данное уравнение будет равносильно уравнению 3(x 2 +5) 2 -23(x 2 +5)-8=0, которое решается методом подстановки. Пусть x 2 +5=t .

x 2 +5?-1/3. Остаётся x 2 +5=8; x 2 =3; x= .
Ответ: .

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня n-ой степени, называется иррациональным .
Иррациональное уравнение чаще всего решается путём возведения в степень, которую имеет корень, содержащий неизвестную, или заменой неизвестной. Не следует забывать, что в степень возводятся обе части уравнения.
При возведении в нечётную степень обеих частей уравнения, получаем уравнение, равносильное исходному.
Новое уравнение, получившееся после возведения в чётную степень обеих частей, не всегда равносильно исходному уравнению, поэтому необходимо либо выполнить проверку полученных значений неизвестного путём подстановки в исходное уравнение, либо отбросить корни, не принадлежащие области определения уравнения.

Пример 15. Решить уравнение .
Решение:
Область определения: х + 1 >= 0.
x 2 – 4 = 0 или х + 1 = 0;
х₁ = – 2 , х₃ = – 1.
х₂ = 2,
х₁ = – 2 не принадлежит области определения.
Ответ: – 1; 2

Пример 16. Решить уравнение .
Решение:
Данное уравнение решается возведением в квадрат левой и правой частей, и, так как в правой части уравнения содержится переменная, мы получим уравнение не равносильное исходному.
15 – 3х = х 2 + 2х + 1; х 2 + 5х – 14 = 0; х₁ = – 7, х₂ = 2.
Проверка. При х₁ = – 7, – не корень.
При х₂ = 2, – корень.
Ответ: 3.

Замечание. В данном случае не требуется ни проверка, ни нахождение области определения, поскольку правые части обоих уравнений и до возведений в квадрат, и после – заведомо положительны.
Ответ: (29; 20).

Уравнения, содержащие знак модуля

Пример 18. Решите уравнение .
Решение:
х + 5 = 3 или х + 5 = – 3. Откуда х₁ = – 2 или х₂ = – 8.
Ответ: – 2; – 8.

Пример 19. Решите уравнение .
Решение:

Данное уравнение будем рассматривать на двух числовых промежутках:.

Значение –1/2 назовём пограничным, т.е. при х = –1/2, 2х – 1 = 0.
При имеем –(2x+1)=x+3; -3=4; x=-4/3 - число принадлежит рассматриваемому промежутку, следовательно, –4/3 - корень.
При имеем 2x+1=x+3; x=2 – принадлежит рассматриваемому промежутку, следовательно, является корнем.
Помните! Пограничное значение смены знака необходимо включить хотя бы в один из интервалов.
Ответ: -4/3; 2.

Пример 20. Решите уравнение .
Решение:
Двучлен х – 3 меняет свой знак при переходе через х = 3, а х + 1 – при х = – 1. Данное уравнение будем рассматривать на трёх числовых промежутках:
1); имеем-(x-3)-2(x+1)=4; – 3х = 3; х = – 1.
и не является корнем.
2) ;-(x-3)-2(x+1)=4; х = – 1.
, – 1 – корень.
3) ;(x-3)-2(x+1)=4; 3х = 5; х =5/3.
, следовательно, корнем не является.
Ответ: – 1.

Уравнения с параметром

Пример 22. При каком значении а уравнение х(2 – а) – х = 5 + х не имеет решений?
Решение:
Выразим х через а. 2х – ах – х – х = 5; – ах = 5; х = –5/a .
При а = 0 х не определён.
Подставим а = 0 в исходное уравнение: х(2 – 0) – х = 5 + х; 2х – 2х = 5; 0 ? 5, следовательно, при а =0 данное уравнение не имеет решения.
Ответ: при а = 0.

Пример 23. Корни х₁ и х₂ уравнения х 2 + х + а = 0 обладают свойством x₁ 2 +x₂ 2 =5 . Найти а.
Решение:
Уравнение х 2 + х + а = 0 – приведённое квадратное. По теореме Виета х₁ + х₂ = – 1, х₁ ? х₂ = а. Т.к. x₁ 2 +x₂ 2 =5, то х₁ – х₂ = – 5.
Имеем х₁ = – 3; х₂ = 2, следовательно, а = (– 3)?2= – 6.
Ответ: а = – 6.

Пример 24. При каких значениях параметра n уравнение (n-2)x 2 -2nx+n+3=0 имеет корни разных знаков.
Решение:
n – 2 ? 0. В противном случае – нет квадратного уравнения.
Приведём исходное уравнение (путём почленного деления обеих частей равенства на n – 2) к приведённому:

Чтобы уравнение имело корни разных знаков, необходимо и достаточно выполнение двух условий одновременно:
1) D/4 > 0 (по формуле чётного коэффициента);
2) x₁ ? x₂

Ответ: .

Показательные уравнения и системы уравнений

Пример 25. Решите уравнение 6 2-x =6 3-2x .
Решение:
6 2-x =6 3-2x ; 2 – х = 3 – 2х; х = 1.
Ответ: 1.

Пример 26. Решите уравнение .
Решение:
.
Ответ: – 2.

Пример 27. Решите уравнение .
Решение:

Ответ: 2.

Пример 28. Решите уравнение .
Решение:

Проверка. При подстановке полученных значений х₁ = 1 и х₂ = 10 уравнение обращается в тождество, следовательно, 1 и 10 – корни уравнения.
Ответ: 1, 10.

Корень уравнения – число 0 – принадлежит промежутку .
Ответ: 1).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 - 2 • 3 x - 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х - 2 , получаем 3 х - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 х - 2 • 25 = 25,
откуда 3 х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac = 1 \), откуда \( \left( \frac \right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х - 4 • 3 х - 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x - 2 = 5 х + 2 х - 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 - 2 x - 2 = 5 х - 2 • 5 х - 2 , откуда
2 х - 2 (3 • 2 3 - 1) = 5 х - 2 ( 5 2 - 2 )
2 х - 2 • 23 = 5 х - 2 • 23
\( \left( \frac \right) ^ = 1 \)
x - 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х - 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 - 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

В разработке урока рассмотрены основные виды простейших иррациональных уравнений,представлены способы их решения.Повторяются определение и свойства корней n-й степени из натурального числа,корни четной и нечетной степени,решение показательных уравнений.В материале урока имеются тренировочные задания и упражнения для самопроверки.

Вложение	Размер
r_a-9_reshenie_irrats._uravneniy.docx	22.86 КБ

Предварительный просмотр:

Разработка урока алгебры в 9 классе по теме

учителя математики ГБОУ СОШ № 521 Рябчиковой Людмилы Ильиничны

Тип урока : изучение нового материала и его первичное закрепление

Образовательная цель создать условия для осознания и осмысления

блока новой учебной информации

Развивающая цель развитие логического мышления, внимания,

Воспитательная цель повышение интереса к решению уравнений,

формирование навыков самоконтроля

Ответ :

Пока вызванные к доске решают уравнения из домашнего задания, мы с вами вспомним тот материал, который будет необходим для восприятия новой темы.

Вспомним определение арифметического корня n -й степени числа а .

Определение: арифметическим корнем натуральной степени, где n из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n -я степень которого равна а .

Его можно записать равенством: , , где a,b .

Из определения арифметического корня следует равенство:

= при .

Когда с неотрицательным числом делают прямое и обратное действие сразу, оно не изменяется.

1) 2) 3)

Вспомним формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

а) квадрат суммы

б) квадрат разности

в) раскрыть скобки:

Определение: Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня.

Например: , и т.п.

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака корня n -й степени . Для этого с обеими частями уравнения нужно сделать обратное действие – возвести в n -ю степень, т.е. использовать равенство, вытекающее из определения арифметического корня: корень n- й степени из а в n -й степени равен а : =

Пример 1

Ответ:

Пример 2

Ответ:

Пример 3

Ответ: нет корней

Рассмотрим уравнение чётной степени, если справа находится не число, а выражение с переменной.

Пример 4 (1)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

(2)

Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (1). При подстановке увидим, что не является корнем уравнения (1).

Ответ:

В ходе решения уравнения (1) обе части уравнения были возведены в квадрат. Получилось уравнение (2).

Уравнение (1) имеет один корень , а уравнение (2) имеет два корня: .

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) появился посторонний корень . Это получилось потому, что при неверное равенство: при возведении в квадрат обеих частей этого уравнения превратилось в верное равенство: .

Таким образом, при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут получиться посторонние корни.

Замечание 2 При решении уравнений чётной степени полученные корни обязательно следует проверять подстановкой в данное уравнение.

Пример 5.

При подстановке этих корней в левую и правую часть уравнения получим, что корень посторонний.

Ответ:

Пример 6.

Проверка показывает, что этот корень посторонний.

Ответ: нет корней

Проверка корней представляет собой иногда трудоёмкий процесс, если корни большие или дробные, поэтому можно поступать по-другому: поскольку правая часть уравнения должна быть положительной, то на неё накладывается дополнительное условие (ДУ), т.е. в рассматриваемом примере 6 дополнительным условием будет выражение , т.е. . Полученный корень не удовлетворяет ДУ. Ответ – нет корней.

Читайте также: