webdonsk.ruКак сделать пропорциональное деление
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 15.09.2024
Пропорциональное деление деление какой-нибудь величины на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам.
Чтобы разделить число на части пропорционально нескольким данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из них.
Деление числа на пропорциональные части
Пример 1. Разделить число 50 на части пропорционально числам 2 и 3.
Решение: Надо найти такие два слагаемых числа 50, которые будут относиться друг к другу так, как 2:3. Первое слагаемое должно содержать 2 части числа, а второе 3, значит, число 50 содержит 5 таких частей (2 + 3 = 5), следовательно, каждая такая часть будет равна:
Число 10 одна часть. Теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число 50:
10 ·, 2 = 20,
10 ·, 3 = 30.
Пример 2. Разделить число 90 на три слагаемых пропорционально числам 1, 2 и 3.
90 : (1 + 2 + 3) = 90 : 6 = 15,
1 ·, 15 = 15,
2 ·, 15 = 30,
3 ·, 15 = 45.
Ответ: 1:2:3 = 15:30:45.
Длинные отношения вида 1:2:3 называются сложными. Сложные отношения это условные записи, показывающие, сколько долей содержит каждая часть. Если члены сложного отношения дробные, то, приведя их к общему знаменателю и умножив на него, можно заменить отношение дробных чисел отношением целых.
Пример. Разделить число 66 на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как 3:2, а вторая к третьей, как 5:4.
Первый способ: обозначим искомые части буквами a, b и c. Так как отношение не изменится, если оба члена умножить на одно и то же число, то умножим члены первого отношения на 5, а второго на 2:
значит a:b:c = 15:10:8. Так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) ·, 15 = 30,
b = (66 : 33) ·, 10 = 20,
c = (66 : 33) ·, 8 = 16.
Второй способ: обозначим искомые части буквами a, b и c:
Если первая часть a равна 3, вторая b равна 2, то третью часть c можно определить из пропорции:
Следовательно, c равно:
| c = | 2 ·, 4 | = | 8 | , |
| 5 | 5 |
| a:b:c = 3:2: | 8 | . |
| 5 |
Умножив все члены полученного сложного отношения на 5, чтобы избавиться от дробного члена, получим:
так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) ·, 15 = 30,
b = (66 : 33) ·, 10 = 20,
c = (66 : 33) ·, 8 = 16.
Деление на части, обратно пропорциональные числам
Пример. Разделить число 62 на три части обратно пропорционально числам 2, 3 и 5, то есть разложить на три части, которые относились бы между собой, как
| 1 | : | 1 | : | 1 | . |
| 2 | 3 | 5 |
Решение: Обозначим искомые части буквами a, b и c. Приведём члены отношения к общему знаменателю и заменим дробные члены на целые числа:
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.
5.Ознакомление с решением задач.
Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить способы их решения.
После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и составить задачу по новому условию:
?
У: - Что требуется узнать в задаче?
- Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?
- Можно ли сразу узнать цену тетради?
-Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?
-Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?
Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему.
Затем переходят к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным.
Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.
6.Закрепление умения решать задачи.
Для обобщения способа решения предлагаются задачи 1-го вида с другими группами величин, затем вводятся задачи 2-го вида и несколько позднее 3-го и 4-го видов.
Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.
1.Структура задач
-даны две переменные и одна постоянная величина;
-даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной;
-сами значения этой переменной являются искомыми.
2.Классификация задач.
В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в таблице 3.
3.Способы решения задач.
В начальных классах эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины
4.Организация подготовительной работы.
Подготовкой к решению задач этого типа предлагают задачи-вопросы и простые задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями. Например:
1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег, сколько уплатила сестра?
2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?
5.Ознакомление с решением задач.
Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи.
К сожалению, информация по данному уроку пока отсутствует.
Для продолжения урока кликните на кнопку ниже:
Отзывы:
Спасибо за еще один урок! Сделали много полезного.
Отличный урок! Спасибо.
Репетитор по математике (9 класс)
- - Индивидуальные занятия
- - В любое удобное для вас время
- - Бесплатное вводное занятие
Курсы по математике для школьников (7 класс)
- - Индивидуальные занятия
- - В любое удобное для вас время
- - Бесплатное вводное занятие
Репетитор по математике (1 класс)
- - Индивидуальные занятия
- - В любое удобное для вас время
- - Бесплатное вводное занятие
Записаться на пробный урок
С 10 до 22.00 по МСК ежедневно
Нажимая кнопку "Получить бесплатный урок", вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности.
Отношения и пропорции
Прямая и обратная пропорциональность величин
Если первые две подробно изложены в учебной литературе, и хорошо отрабатываются на большом количестве задач, то третья практически не затрагивается во многих учебных пособиях. В учебниках можно встретить лишь разрозненные задачи с использованием пропорционального деления. Однако выпускные экзамены последних лет заставили обратить внимание на более тщательное, серьезное изучение задач на пропорциональное деление, необходимо также отметить, что пропорциональная зависимость величин является простейшим видом функциональной зависимости, что является пропевдептикой изучения понятия функции в 7 классе.
Изучение задач на пропорциональное деление можно проводить на факультативе; кружке; элективах; выделить в сетке уроков несколько часов, но делать это необходимо, т.к. это существенно облегчает решение любых текстовых задач, в которых даны отношения величин.
I. Прямопропорциональное деление:
Задача 1.
Двое рабочих вместе заработали 12 500 рублей, один работал 4 дня, а другой работал 6 дней, как они должны разделить заработанные деньги?
Прежде всего, в процессе устного обсуждения устанавливается, величины даны - заработок и время работы каждого рабочего. Какая зависимость между этими величинами - прямопропорциональная зависимость
I рабочий должен взять 4 такие части общего заработка, каких II рабочий возьмет 6, т.е. заработок I так относится к заработку II как 4:6.если обозначить
заработок I рабочего
заработок II рабочего
можно записать : 4:6 = 2:3,откуда
Задача такого типа называется задачей на прямо пропорциональное деление или в данном отношении.
Далее следует рассмотреть задачу деления числа прямо пропорционально трем и более числам:
Задача 2.
Чтобы приготовить щи из свежей капусты, берут мясо, свежей капусты, помидоров и масло в отношении 25:25: 10:2. Сколько надо взять этих продуктов, если мяса взяли 300 грамм?
Удобнее обозначать за в такого рода задачах коэффициент пропорциональности (или величину одной части), тогда
25 x (г.) - капуста
25 x (г.) - мясо
10 x (г.) - помидор
2х (г.) - масло, чувственно, что мяса взяли 300 (г.) или 25х (г.), поэтому
Вычислив коэффициент можно найти массу каждого из продуктов:
25*16 = 300 (г.) – капуста
16*10 = 160 (г.) – помидор
16*2 = 32 (г.) – масло
Не всегда ряд чисел, пропорционально которым мы делили, состоящий из целых чисел, чаще всего это дробные числа, поэтому при дробных отношениях целесообразно избавляться от дробей.
Задача 3.
В тугоплавком стекле содержится кремнезем, известь и поташ в отношение 9:1,7:1,3. Определите вес колбы, сделанной из этого стекла, если она содержит кремнезема на 42,5г больше, чем поташе.
Кремнезем : известь : поташ = 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 :13
Х – коэффициент пропорциональности, тогда
90 Х – кремнезем
Известно, что кремнезема на 38,5 (г.) или (90 Х - 13 Х ) (г.) больше, чем поташе, значит
Колбаса весит: 90 Х +17 Х +13 Х =120 Х => 120*5 = 600 (г.)
Ответ: 600 грамм.
Задача 4.
Разделите 38 груш на три части так, чтобы:
Записать отношения в виде одного ряда невозможно, т.к. в первом и втором отношении II части выражено различными числами, поэтому сначала освобождаемся от дробей:
А затем преобразуем, отношения так, чтобы в обеих строчках II части были выражения одинаковым числом, желательно наименьшим, т.е. это является НОК (1:15)=15,
Откуда I: II: III=32:15:105.
Х - коэффициент пропорциональности, тогда:
32 Х – I часть груш
15 Х – II часть груш
105 Х – III часть груш
Всего 38 груш или 32 Х +105 Х ; откуда:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Для приготовления пороха берут селитру, серу и уголь, причём вес селитры так относится к весу серы, как 6:1.Вус угля равен весу серы.
Сколько можно получить пороха, если взяли 12 кг. угля.
2. Время от всходов семян до созревания самых ранних сортов дыни, арбузов, помидоров и огурцов относится, как 1,75 : 2,5 : 2 : 1, при этом арбузы созревают на 30 дней позже, чем дыни. Определить период вегетации каждой из указанных культур.
3. Стороны треугольника относятся, как 3,5 : 4,25 : 5,75. Вторая сторона больше первой на 12 см. Определить периметр треугольника.
4. сумма трёх измерений прямоугольного параллелепипеда 2,91 м. Длинна, относится к ширине, как 7:5, а отношение ширины к высоте равно 1,2. Определить объем
5. золота разделить на три части так, чтобы массы их частей относились = 0,04:0,2 = 1.5 : 2
6.Для приготовления фарфора используют глину, гипс и песок в отношении 6,25:0,25:0,5.Сколько весит фарфоровая чашка, если она содержит глины на 184г. Больше, чем песка?
7. Продолжительность года на Меркурии так относится к продолжительности года на Венере, как 11:28, а года на Венере составляет 7 дней. На сколько дней короче год на Меркурии, чем на Земле?
8. Продолжительность жизни обыкновенной ели и липы относятся между собой как 0,6 : 0,5, а продолжительность жизни липы и шиповника относятся, как 5:2. Какова продолжительность жизни каждого из этих растений, если известно, что липа живет на 600 лет больше, чем шиповник?
9. Отношение средней частоты сокращения сердца в 1 минуту у слона, человека и воробья выражается зависимостью 1:4:48,причем у воробья на 792 сокращения больше, чем у человева. Чему равна средняя частота сокращений сердца в 1 минуту у слона, человека и воробья отдельно?
10. Для замазывания повреждений на деревьях используют смесь из канифоли, пчелиного воска и сала в отношении 4:2:1.Сколько надо взять этих веществ, чтобы приготовить 5,6 кг. смеси?
11.Карандаш для писания по стеклу изготовляется из стеарина, говяжьего сала, воска и сурика, взятых в отношении .Сколько надо взять каждого из веществ для приготовления 3,8кг. карандашей?
12. Гигантами в мире животных считают синего кита, акулу, удава-анаконду и гребнистого крокодила, длины, которых относятся как 7 : 3,3 : 2,2 : 2,причем кит длиннее акулы на 18,5м. Чему равна длина каждого из этих гигантов?
13. Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Вес селитры так относится к весу серы, как 19:2, а вес угля составляет часть веса селитры и серы вместе. Сколько нужно
взять селитры, серы и угля, чтобы получить 10,5 кг. пороха?
14. Длина Дуная относится к длине Днепра как : 5 ,а Длина Дона относится к длине Дуная как 6,5 : 9,5. Найти протяженность каждой из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.
II . Деление числа на части обратно пропорциональные данным числам.
Обратно пропорциональное деление
Задача 1.
Разделить число 200 обратно пропорционально 3 и 5.
Иная формулировке требования: разделить 200 в отношении, обратном 3 и 5.,т.е. в первом из искомых чисел должно быть пять таких частей, каких во втором три.
Значит: Х 1 : Х 2 = 5 : 3
Задача 2.
Разделить число 130 обратно пропорционально 2, 3 и 4.
Решение:
Х 1 : Х 2 = 3 : 2 = 6 : 4
Можно свести обратно пропорциональное деление к делению прямо пропорциональному,
т.е. перейдём к одному ряду отношений
Х 1 : Х 2 : Х 3 = 6 : 4 : 3, откуда:
= 60; Х 2 = 40; Х 3 = 30.
Задача 3.
Раздели 680 обратно пропорционально
Решение:
Х 1 : Х 2 = = 3 : 2 = 15 : 10
Х 2 : Х 3 = = 10 : 9
Х 1 :Х 2 : = 15 : 10 : 9, откуда
Х 1 = 300; Х 2 = 200; Х 3 = 180.
Можно подойти к решению подобных задач по другому. Например, 4:5 отношение чисел, а обратное отношение 5:4, причём 5:4 = , т.е. обратное отношение двух чисел равно отношению чисел, обратных данным.
Например, 420 разделить обратно пропорционально 3;5 и 6
Х 1 : Х 2 = 5 : 3 = 10 : 6
Х 2 : Х 3 = 6 : 5 = 6:5
Х 1 : Х 2 : Х 3 = 10 : 6 : 5
Но если 420 разделить прямо пропорционально , то
Х 1 : Х 2 : Х 3 = = 10 : 6 : 5
т.е. результат вычисления получится такой же, т.е.
420 разделить 420 разделить
обратно пропорционально прямо пропорционально
Вместо того чтобы делить обратно пропорционально данным числам, мы делим прямо пропорционально обратным числам. Результат получается такой же.
Можно сформировать правило: Чтобы разделить число обратно пропорционально данным числам, достаточно разделить его прямо пропорционально обратным числам.
Задача 4. Один рабочий выполняет норму за 6 часов, другой за 5 часов, а третий за 4,5 часа. Работа вместе, они изготовили 795 деталей. Сколько деталей изготовил каждый рабочий!
Время работы обратно пропорционально количеству изготовленных деталей.
- количество деталей, изготовленных первым рабочим
- количество деталей, изготовленных вторым рабочим
- количество деталей, изготовленных третьим рабочим
Ответ: 225деталий, 270деталий, 300 деталей.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Первый спортсмен пробегает 100м за 12 сек.,а второй за 13 сек.Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если расстояние между ними 200м. и бег они начнут одновременно?
2. Количество этилового спирта, получаемого из 1т. сахарной свеклы,1т. картофеля и 1т. зерна, относится, как 1 : 1,4 : 3,5. На завод было доставлено сахарной свеклы, картофеля и зерна всего 3542 т., из которых было получено по одинаковому количеству спирта. Сколько было отдельно доставлено на завод сахарной свеклы, картофеля и зерна?
3. Три фермерских хозяйства потратили на постройку моста 6 200 000 рублей и разделили эту сумму обратно пропорционально расстоянием хозяйств до моста. Определить расход каждого хозяйства на постройку моста, если первое находится на расстоянии 2 км. от моста, второе на расстоянии 3км. , а третье- 5км.?
4. Первая мельница может смолотить некоторое зерна за 4 дня, вторая это же количество за 7,5 дней, а третья за 8 дней. Как распределить между этими мельницами 124 т. зерна, чтобы они одновременно начали и закончили помол зерна?
III . Сложное тройное правило.
Задачи с более сложной пропорциональной зависимостью получили когда-то задач на сложное тройное правило, например:
На железной дороге работали две бригады в одной 15 человек, а во второй 12 человек, первая бригада работала 18 дней, а вторая 25 дней. Первая заработала 97200 руб. Сколько денег заработала вторая бригада?
Здесь уже три величины время работы, количество рабочих и стоимость выполненных работ, причем стоимость работ прямо пропорциональна времени работы и количеству рабочих.Можно решить эту задачу по действиям задавая соответствующие вопросы и записывая ответы.
Читайте также: