Как сделать площадь прямоугольника

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 04.09.2024

Обрати внимание, что длина и ширина должны быть выражены в одних единицах. Если длина и ширина в сантиметрах, то площадь получится в сантиметрах квадратных; если длина и ширина в километрах, то площадь получится в квадратных километрах. Если длина и ширина выражены в разных единицах, сначала приведи к одинаковым, а потом уж умножай.

Очень полезно познакомиться с площадями прямоугольников на практике. Давай я попробую угадать: площадь твоего стола меньше одного квадратного метра. Площадь твоей кровати больше одного квадратного метра, но меньше двух. Площадь твоей комнаты больше 10 квадратных метров и меньше 20 квадратных метров. Мне не видно, и я могла ошибиться. Так что измерь, посчитай и проверь, правильно ли я угадала.

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь прямоугольника. Для нахождения площади прямоугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь прямоугольника. Определение

Определение 1. Площадь прямоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает прямоугольник.

Площадь прямоугольника. Доказательство

Теорема 1. Площадь S прямоугольника со смежными сторонами a и b равна произведению этих сторон :.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (Рис.1). Докажем, что .

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b (Рис.2). Площадь этого квадрата равна (a+b)·(a+b) (см. статью Площадь квадрата онлайн).

С другой стороны, данный квадрат состоит из двух квадратов со сторонами со сторонами a и b и площадями a 2 и b 2 , соответственно и из двух прямоугольников с площадями S. Поэтому сумма площадей этих двух квадратов и двух прямоугольников равна площади квадрата со стороной a+b:

Упрощая полученное равенство, получим: .

Площадь прямоугольника через стороны

Из вышеизложенной теоремы следует, что площадь прямоугольника через его смежные стороны вычисляется из формулы:

Пример 1. Стороны прямоугольника равны и . Найти площадь прямоугольника.

Решение. Для нахождения площади прямоугольника воспользуемся формулой (1). Подставим , в (1):

Ответ:

Площадь прямоугольника через сторону и диагональ

Пример 2. Известна сторона прямоугольника и диагональ (Рис.3). Найти площадь прямоугольника.

Решение. Найдем сначала неизвестную сторону прямоугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Площадь прямоугольника вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольника через диагональ и сторону:

Подставим , в (3):

Ответ:

Площадь прямоугольника через периметр и сторону

Пример 3. Известны сторона прямоугольника и периметр (Рис.4). Найти площадь прямоугольника.

Решение. Найдем сначала неизвестную сторону прямоугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Площадь прямоугольника вычисляется из формулы (1). Подставляя (4) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольника через периметр и сторону:

Подставим , в (5):

Ответ:

Площадь прямоугольника через диагональ и периметр

Пример 4. Известны диагональ прямоугольника и периметр (Рис.5). Найти площадь прямоугольника.

Решение. Найдем сначала стороны прямоугольника. Запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

(6)

(7)

Из формулы (7) найдем $ \small b $ и подставим в (6):

(8)

(9)

Упростив (9), получим квадратное уравнение относительно неизвестной $ a $:

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Подставляя значения и в (11), получим:

Поскольку дискриминант неотрицательное число, то такой прямоугольник существует.

Стороны прямоугольника вычисляются из формул:

Почему $ \small b $, как и $ \small a $ получается неотрицательным, посмотрите "примечание" на странице Прямоугольник. Онлайн калькулятор.

Площадь прямоугольника по двум сторонам равна:

Подставляя (12) в (13), получим:

Далее, из (11) и (14) следует:

Подставляя , в (15), получим:

Ответ:

Во время экзаменов или при выполнении ремонтных работ возникает задача на нахождение площади прямоугольника. Однако не все знают основные формулы, поэтому не все могут корректно осуществить переход из одной единицы измерения в другую. Для этих целей потребуются некоторые базовые знания.

Общие сведения

В различных задачах с физико-математическим уклоном приходится вычислять площадь прямоугольника. Однако формула расчета применяется не только в математике и физике, но и во время ремонтных работ. Например, следует посчитать количество расходных материалов, которое зависит от квадратуры комнаты или здания.

Площадь фигуры

Площадью двумерной фигуры является численная характеристика, которая показывает ее размерность. Она обозначается литерой S и измеряется в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , дм 2 и т. д.). Не каждый элемент геометрии имеет площадь. Прямая, луч, отрезок, точка не имеют двумерной размерности. Фигуры, у которых она присутствует, являются квадратируемыми. Если значения их S равны, то они являются равновеликими.

Для вычисления значения двухплоскостной размерности фигуры применяется интегральный метод. Однако бывают частные случаи, когда вычислять интеграл необязательно. Существуют определенные формулы, полученные с помощью интегрального метода. Чтобы ими воспользоваться, нужно просто подставить числовые значения сторон.

Нахождение площади получило широкое распространение в физике. Например, для вычисления электрического сопротивления нужно найти площадь поперечного сечения проводника. Она зависит от его формы. Площадь можно вычислить и у объемной поверхности, но для этого применяется интегрирование.

Единицы измерения

При решении задач на нахождение значения площади нужно знать единицы ее измерения. Кроме того, следует правильно выполнять перевод одной единицы в другую. В системе исчисления используются квадратичные единицы измерения. За основу следует брать размер стороны прямоугольника. Например, при указании площади в кв. м нужно измерять в метраже стороны объекта. Это стандартная единица измерения площади.

Существуют также производные единицы. Самой маленькой из них является квадратный миллиметр (кв. мм или мм 2 ). В некоторой литературе или программировании можно встретить такую запись: sqr (m), которая означает квадратный метр. Основные производные единицы площади:

1 см 2 = 100 мм 2 .

1 дм 2 = 100 см 2 .

1 м 2 = 100 дм 2 = 10000 см 2 .

1 км 2 = 1000000 м 2 .

1 ар (а) = 1 сотка = 100 м 2 .

1 гектар (га) = 10000 м 2 .

Последние применяются для измерения земельного участка. Однако необязательно их все помнить. Они легко выводятся при помощи простейших математических вычислений. Например, для выполнения расчетов нужно перевести кв. м в кв. см. Однако человек мог забыть, сколько см 2 в квадратном метре. Следует взять метрическую форму (1 м = 100 см). Затем нужно возвести обе части выражения в квадрат: 1 м 2 = 100 * 100 = 10000 (см 2 ).

Информация о прямоугольнике

Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.

Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.

Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.

Свойства и признаки

Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:

Условие параллельности и равенства противоположных сторон.
Наличие четырех прямых углов.
Равенство диагоналей.
Квадрат диагонали равен суммарному значению квадратов двух сторон, которые не противоположны.
Все стороны не равны между собой.

Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают. Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:

Углы равны между собой 90 градусов.
Противолежащие параллельные стороны равны.
Сумма всех внутренних углов составляет 360.
Диагональ, проведенная внутри прямоугольника, делит его на два равнозначных треугольника, которые являются равновеликими. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (размерности сторон одной фигуры равны значениям сторон другой фигуры).
Треугольники, полученные при проведении двух диагоналей, равны по всем признакам (углам и сторонам).
Диагонали пересекаются между собой в точке, которая делит их на четыре равные части.
Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
Сумма квадратов двух диагоналей соответствует суммарному значению квадратов всех сторон фигуры.

Однако свойств и признаков фигуры недостаточно для решения задач. Следует знать основные соотношения и формулы.

Периметр и размерность

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.

Примеры решения

Задачи на нахождение площади применяются в нескольких дисциплинах. В геометрии применяются различные комбинации, при которых известны некоторые величины:

Две стороны.
Одна из сторон и диагональ.
Диагональ и разность сторон.

Для расчета расходных материалов и площади поперечного сечения проводника можно всегда измерить стороны прямоугольника. Существует два способа нахождения: автоматизированный и ручной. В первом случае используется специализированное программное обеспечение. Однако вовсе не обязательно применять сложные алгоритмы и программные модули, поскольку формула является очень простой. Для расчета специалисты рекомендуют применять онлайн-калькулятор.

При ручном режиме расчета нужно подставлять значения в формулу. После этого выполнять вычисления. Возможна и оптимизация процесса вычисления. Для этой цели рекомендуется использовать Excel. Приложение входит в состав стандартного офисного пакета MS Office.

Геометрия на плоскости

Задача сводится к тому, что необходимо высчитать S, зная размеры сторон (a = 25 и b = 10). В этом случае следует воспользоваться базовой формулой: S = a * b = 25 * 10 = 250 (ед 2 ). В ответе указывается условная единица измерения, поскольку явная не указана в условии задачи.

Еще один вариант задания немного сложнее предыдущего. Он имеет следующее условие: одна из сторон прямоугольника равна 6 м и диагональ 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Формулой в этом случае является теорема Пифагора. Треугольник, который образуется при проведении диагонали, считается прямоугольный (неравносторонний, а разносторонний). Решается задача следующим образом:

Находится неизвестная сторона: b =(d 2 — a 2 )^(1/2) = (100 — 36)^(1/2) = 8 (м).

Площадь (произведение сторон): S = 6 * 8 = 48 (м 2 ).

Можно использовать двойную формулу Герона, однако метод усложняет вычисления. Для сравнения скорости и объема вычислений следует решить задачу вторым способом:

Значение площади будет вычисляться таким образом: S = 2 * [12 * (12-6) * (12-8) * (12-10)]^(1/2) = 2 * 24 = 48 (м 2 ).

Второй способ считается неправильным, поскольку необходимо во всех задачах оптимизировать вычисления. Сложным типом задачи, кроме интегрирования, считается нахождение площади, когда неизвестны стороны, а известна только диагональ (10). Известно также, что одна из сторон больше другой на 3 метра. В этом случае надо выражать одну сторону через другую. Алгоритм решения следующий:

Обозначить стороны: a = x и b = x — 3.
Составить уравнение: x * (x — 3) = 10.

Раскрыть скобки: x 2 — 3x — 10 = 0.

Таким образом, для расчета площади прямоугольника можно воспользоваться формулой, а не выполнять интегрирование. Однако перед этим нужно внимательно изучить основные понятия и математические отношения.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы равны. Все углы в прямоугольнике прямые, то есть равны $90^$.

Примеры вычисления площади прямоугольника

Задание. Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 3 см, а вторая, смежная с ней - 5 см.

Решение. Искомая площадь прямоугольника равна произведению двух заданных сторон:

Ответ. $S=15$ (см 2 )

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 3 м, а диагональ - 5 м.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, из которого по теореме Пифагора найдем длину катета $BC$ :

Читайте также: