webdonsk.ruКак сделать латинский квадрат
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 29.08.2024
Прежде чем ты решишься использовать то, о чем прочтешь далее, подумай трижды, а нужно ли тебе это? Магия Латинских Квадратов очень могущественна и если Квадрат неправильно составлен и неумело изготовлен, то его применение может быть и опасно.
Я по возможности полно изложу секреты составления и изготовления Квадратов, а дальше твоя безопасность будет зависеть только от того, насколько точно будешь следовать правилам.
A G G E R
G A I D E
G I M I G
E D I A G
R E G G A
Это Латинский Квадрат
Как видишь ничего сложного, но ты вряд ли сейчас сможешь понять, для чего он нужен, и как его применить. Это хоть и древняя, но хорошо забытая магия. Запомни - невежество опасная вещь сама по себе, а в магии особенно, поэтому никогда не применяй знаков и символов с неизвестным тебе значением. Это правило относится, как ты понимаешь и к Латинским Квадратам тоже.
Далее нужно сформировать внутренний квадрат. Его образуют начальные буквы девиза - A.F.J. (точки не ставятся). Последовательность построения внешнего и внутреннего квадрата одинакова.
В целом получается следующая фигура:
BELLO
EAFJL
LF FL
LJFAE
OLLEB
Центр Квадрата не заполнен. И здесь очень важный момент. Каждый Квадрат действует строго определенное его создателем время. Для этого в центр вписывают нужное число дней – латинскую букву. Только одну из семи:
I (1) X (10) C (100) M (1000) V (5) L (50) D (500)
Получается Полный Латинский Квадрат. Как и у каждого Квадрата у него есть имя. Оно совпадает с ключевым словом.
BELLO
EAFJL
LFXFL
LJFAE
OLLEB
Теперь ты можешь составлять Латинские Квадраты. Сейчас я расскажу, как их правильно делать. Каждый Квадрат изготавливается в определенный день недели и час сообразно его действию. Латинские Квадраты сами по себе не являются планетарными по своему характеру, но их действие согласно влиянию планет как впрочем, и все происходящее в подлунном мире. Поэтому полезно определять под какой вид планетарного влияния попадает их действие и изготавливать их именно в то время когда влияние нужной планеты наиболее сильное.
Для определения характера планетарного влияния применяется следующая таблица:
Планета
Сферы планетарного влияния
Солнце
Деньги, процветание, успех, карьера, известность, здоровье.
Луна
Мореходство, путешествия, интуиция, материнство, театр.
Меркурий
Торговля, образование, связь, издательская деятельность, письменность, аферы, литература, переговоры, тайные науки, ремесла, связь с потусторонним миром.
Венера
Любовь, чувственное наслаждение, дружба, искусство, культура, награды и привилегии, парфюмерия, кулинария, медицина, виноделие.
Марс
Война, армия, силовые структуры, власть, победа, разрушение, доблесть, сельское хозяйство, хирургия, химия.
Юпитер
Слава, божественное, финансы, богатство, банки, меценатство, религия, культ, политика, законодательство, спорт.
Сатурн
Завещание, наследство, смерть, строительство, земля, имущество, шахты, рудники.
Если возникли затруднения в выборе, то согласно традиции Квадрат изготавливается в день и час Меркурия.
В соответствующий день и час, составленный ранее Квадрат, рисуется на листе бумаги согласно порядку и всем правилам построения. После чего происходит следующая финальная операция делания. Нужно Прочесть Квадрат. Начиная с имени (BELLO) и дальше по лабиринту к центру. Когда произнесена последняя буква, Квадрат завершен полностью и готов к применению.
Время действия Квадрата ограничено его создателем. Продлить его невозможно. Можно только сделать другой Квадрат. Если возникла необходимость прекратить действие до указанного срока это можно сделать Прочитав Квадрат наоборот. Т.е. от центра лабиринта к началу. Делать это следует, учитывая планетарное влияние, но в несколько ином порядке:
Бумагу с изображением Квадрата после этого лучше всего сжечь. Перед этим написать на ней: INRI. Во время церемонии произносится следующее:
Латинский квадрат представляет собой квадратную схему с рядами и колоннами, с каждым полем, занимаемых одним из различных символов, так что каждый символ появляется ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце. Натуральное число называется порядком латинского квадрата. п п п п
В современной комбинаторике и дискретной математике символом является сумма, в основном числа вверх , реже числа, которые будут использоваться, и схема такая же особенная - рассматривается матрица . 1 п 0 п - 1 п x п
Каждый латинский квадрат можно понимать как таблицу соединений (таблицу Кэли) конечной квазигруппы , и наоборот, каждая конечная квазигруппа определяет класс эквивалентности латинских квадратов.
Два разных латинских квадрата одного порядка могут быть ортогональны друг другу. В синтетической геометрии задаются определенные наборы попарно ортогональных латинских квадратов конечного порядка аффинных плоскостей . Это приводит к необходимому и достаточному комбинаторному условию существования уровней порядка : такой уровень существует тогда и только тогда, когда существует полный список попарно ортогональных квадратов порядка . п п п п
Помимо математики в более узком смысле, латинские квадраты используются, среди прочего, в сельскохозяйственном экспериментальном планировании как блочные системы и в статистическом экспериментальном планировании.
оглавление
Представление, свойства и условия
Представление в виде матрицы
Латинский квадрат порядка - это квадратная матрица , все элементы которой являются натуральными числами от до , таким образом, что каждое из этих чисел появляется ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце матрицы. Это свойство можно проверить для матрицы (например, с помощью системы компьютерной алгебры, такой как Maple ) следующим образом: Для записей в матрице должны выполняться следующие уравнения: п п x п 1 п М. j , k > М.
Тройное представление: ВЕСЛО
OAR предлагает геометрическую интерпретацию латинского квадрата: число в ячейке латинского квадрата можно понимать как высоту кубоида, который должен быть построен на этой ячейке в качестве основы. Это превращает латинский квадрат в пространственную гистограмму - сравните иллюстрацию с примером ниже.
Тройки представления OAR можно интерпретировать как пространственные координаты или как высоту столбцов на латинском квадрате. На этом рисунке для ясности только первый и последний столбцы (s = 1 и s = 4) латинского квадрата четвертого порядка (красные числа на основании) показаны в виде столбцов. Куб в верхней части этих столбцов выделен цветом.
Эта интерпретация проясняет, что OAR латинского квадрата становится OAR латинского квадрата не только тогда, когда меняются местами номера строк и столбцов ( транспозиция в матричном представлении), но даже когда все номера символов меняются местами с номерами строк. или номера столбцов!
пример
Количество латинских квадратов
Номера латинских квадратов последовательности бланка заказа A002860 в OEIS . Нет известной формулы для последовательности, которую легко вычислить . Самые известные нижние и верхние границы для крупных заказов все еще далеки друг от друга. Классическая оценка: Л. ( п ) п знак равно 1 , 2 , 3 , . Л. ( п ) п
Числа структурно различных латинских квадратов (т.е. квадраты не могут быть идентичны поворотом, зеркальным отображением или перестановкой символов) до 7-го порядка образуют последовательность A264603 в OEIS .
Уменьшенные латинские квадраты
Номера приведенных латинских квадратов последовательности бланка заказа A000315 в OEIS . Следующее относится к количеству всех латинских квадратов. л ( п ) п знак равно 1 , 2 , 3 , . Л. ( п ) Л. ( п ) знак равно п ! ? ( п - 1 ) ! ? л ( п ) .
Примеры
Латинские квадраты третьего или четвертого порядка в матричном представлении:
Tripeldarstellung левый квадрат: . Если бы вы поменяли местами числа 1 и 2 в первой строке, тройка (1-я строка, 1-й столбец содержит 2) и тройка (3-я строка, 1-й столбец содержит 2) были бы в двух местах (столбец и символ) совпадают и квадрат больше не будет латинским квадратом. < ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 , 2 , 2 ) ; ( 1 , 3 , 3 ) ; ( 2 , 1 , 3 ) ; ( 2 , 2 , 1 ) ; ( 2 , 3 , 2 ) ; ( 3 , 1 , 2 ) ; ( 3 , 2 , 3 ) ; ( 3 , 3 , 1 ) >> ( 1 , 1 , 2 ) ( 3 , 1 , 2 )
Указать латинский квадрат для любого заданного порядка легко : для этого произвольно распределяют различные символы в первой строке квадрата. Следующие строки теперь заполняются последовательно, заменяя предыдущую строку, сдвинутую на единицу вправо. Самый правый символ предыдущего ряда выпадет из квадрата; вместо этого он вводится в новую строку слева. п п
Пример порядка 3 построен таким образом, в примере порядка 4 вместо сдвига вправо каждая строка циклически перемещалась влево . Если вы начнете с этой конструкции, как в показанном примере, с отсортированной первой строки с числами , вы всегда получите уменьшенный латинский квадрат, который можно интерпретировать как таблицу связей группы классов остатка . Для этого все введенные числа должны быть уменьшены на 1. 1 , 2 , . п ( Z / п Z , + ) / п \ mathbb , + \ right)>
Ортогональные латинские квадраты и MOLS
Два латинских квадрата и называются ортогональными, если никакие две пары не совпадают с этим результатом, когда вы записываете записи друг за другом и рядом друг с другом в новую схему квадратов . В матричном представлении: Q Р. п 2 > Q Р. С.
Латинские квадраты и объединенные здесь для формирования матрицы ортогональны. В этом случае квадрат, обозначенный значком, называется греко-латинским квадратом . Номера пар ортогональных латинских квадратов последовательности A072377 в порядке формы в OEIS . С. Q Р. С. п знак равно 1 , 2 , 3 , .
Следующее предложение важно для использования в геометрии:
Список попарно ортогональных латинских квадратов порядка будет сказать , будет завершена . Последовательность максимально возможного числа попарно ортогональных латинских квадратов ( MOLS = взаимно ортогональные латинские квадраты ) порядка - это последовательность A001438 в OEIS , то, что известно о значениях, показано в таблице справа, значения Для 0 и 1 являются условными. Применимо следующее: п - 1 п Р. ( п ) п п знак равно 13-е
Магические квадраты
Согласно его построению , если пары чисел биективно перекодированы в последовательные натуральные числа в греко-латинском квадрате порядка n - например, Б. - все суммы строк и суммы строк одинаковы, например квадрат S может быть квадратом ( j , k ) ? ( j - 1 ) ? п + k С. ^ >>
назначьте, где каждая строка и каждый столбец имеют магическую сумму . s знак равно 15-е
Если сумма двух диагоналей в таком квадрате также равна сумме строк и столбцов, то говорят о магическом квадрате .
Приложения
Алгебра: латинские квадраты и таблицы связей
Связывающая таблица циклической группы C 5 в виде латинского квадрата в цвете. Нейтральный элемент имеет черный цвет. Цветные таблицы ссылок используются в онлайн-математической энциклопедии MathWorld , как и таблицы в оттенках серого.
Первое изображение слева показывает полную таблицу связей группы : С. 5 знак равно ( Z / 5 Z , + ) = \ влево (\ mathbb / 5 \ mathbb , + \ right)>
Следует отметить , что не существует вообще никакого расположения специфического для элементов группы или квази-группы: Если симметричная группа на основе элементов, то перестановка , которая последовательно применяется к строкам и столбцам таблицы связи ( в том числе их строк или заголовки столбцов), другая действительная таблица ссылок той же группы из исходной таблицы (слева); латинский квадрат, назначенный группе (справа), также изменяется. С. п > п p ? С. п >
Геометрия: ортогональные латинские квадраты и конечные плоскости
Из полного списка попарно ортогональных латинских квадратов порядка можно построить конечную аффинную плоскость порядка и наоборот. Вот как это работает: Л. знак равно < Л. 1 , Л. 2 , . Л. п - 1 >> = \ , L_ , \ ldots L_ \>> п п
Это дает вам уникальную пару чисел для каждой точки на плоскости с использованием координатного представления, связанного с базой точки . Каждый из наборов параллелей, за исключением двух наборов, параллельных осям, определяет латинский квадрат, как описано выше, и квадраты, определенные таким образом, попарно ортогональны. Выраженные тройной связью T - также определяемой списком ортогональных латинских квадратов - прямые линии затем имеют уравнения прямой линии: ( О , Э. 1 , Э. 2 ) , E_ )> ( Икс , у ) ? K 2 знак равно ( О Э. 1 ) 2 <\ Displaystyle (х, у) \ в К ^ = (OE_ ) ^ > ( v - 1 ( Икс ) , v - 1 ( у ) ) знак равно ( j , k ) ? < 1 , 2 , . п >2 (x), \ beta ^ (y)) = (j, k) \ in \ ^ > п - 1
Поскольку каждая конечная аффинная плоскость порядка имеет в проективную плоскость того же порядка, проективное замыкания и любой конечной проективной плоскости может быть прорези таким образом , что конечная аффинная плоскость того же порядка возникает, применимо следующее: п
Для каждого существует проективная плоскость порядка тогда и только тогда, когда существуют попарно ортогональные латинские квадраты порядка . п >= 2 п п - 1 п
Если конструкция , описанная здесь, осуществляется с неполным списком MOLS, один получает структуру заболеваемости с точками на каждой прямой линии и наборов параллелей, то есть так называемой - сети . м п м + 2 п + 1
Построение ортогональных латинских квадратов из тройных тел
Является конечным тернарным полем , тогда для каждого из них через связь становится квазигруппой . При одинаковом расположении элементов для таблиц умножения латинские квадраты для двух таких связей всегда ортогональны друг другу с разными множителями . Тройное тело порядка всегда дает полный список попарно ортогональных латинских квадратов. ( K , Т , 0 , 1 ) K а ? K \ < 0 >> Икс ? а у знак равно Т ( а , у , Икс ) у = Т (а, у, х)> ( K , ? а ) )> K ? а , ? б > а ? б ; а , б ? K \ < 0 >> п п - 1
Для стандартной записи 0 нужно заменить на 5, тогда вы создали набор из 4 попарно ортогональных латинских квадратов. Аналогично, попарно ортогональные латинские квадраты всегда можно определить для каждой степени простого числа, используя соответствующие квазигрупповые связи в конечном поле . п р > ? а , а ? Ф. п р \ < 0 >_
> \ setminus \ > Ф. п р _
>> п р - 1 -1>
Затем каждый из этих латинских квадратов описывает отношение инцидентности в одном из наборов параллелей аффинной плоскости, как показано в предыдущем разделе. п р + 1 +1> Ф. п р _
>>
Математические головоломки
- Вопрос о том, можно ли частично заполненный квадрат будет завершен в латинский квадрат NP-полная задача на языке теории сложности .
- Латинский квадрат 9-го порядка с дополнительным условием, что при делении на девять квадратов в каждом из этих квадратов все символы появляются ровно один раз, приводит к головоломке с числами судоку . 3 x 3
Иллюстрации
Визиты политиков и компьютерщиков
4 политика хотят посетить 4 ученых-информатиков. Каждый политик посещает ровно одного ученого-компьютерщика каждые 4 дня. Каждый компьютерный ученый должен посетить ровно одного политика в каждый из 4 дней. По прошествии 4 дней каждый политик посетил каждого компьютерного ученого ровно один раз.
Эта последовательность может быть представлена латинским квадратом 4-го порядка. Строки представляют политиков, столбцы представляют компьютерных ученых, а цвета представляют дни. Количество возможностей для групп посещений за 4 дня равно количеству латинских квадратов порядка 4 (последовательность A002860 в OEIS ) . Итак, существует 576 возможных созвездий.
Статистический план экспериментов
Агроном хочет выяснить, какая концентрация удобрений позволит максимально увеличить урожай. Для этого он делит свое поле на четыре по четыре отдельных участка. В каждой из областей 16 является одним из четырех концентраций удобрений , , или с б. Однако условия выращивания на 16 участках неоднородны. В -направлении градиент увеличивается, а в -направлении земля становится все глубже и глубже. Помимо концентрации удобрений, два фактора уклона и глубины также могут влиять на урожайность, что необходимо учитывать в плане испытаний. Если у вас есть два блочных фактора и один интересующий фактор, используйте латинский квадрат в качестве дизайна. Каждый из трех факторов имеет четыре уровня факторов, которые в R генерируют следующий экспериментальный план с функцией из пакета : А. Б. С. Д. Д. - С. знак равно С. - Б. знак равно Б. - А. > 0 0> Икс у design.lsd agricolae
Классы эквивалентности латинских квадратов
Есть много различных преобразований, которые можно применить к латинскому квадрату для создания нового латинского квадрата:
Преобразования, упомянутые в пункте 4., являются частными случаями перестановок строк или столбцов.
Для применения важных и для подсчета возможных латинских квадратов фиксированного порядка, количества преобразований, описанных ниже, вводятся все латинские квадраты порядка по соответствующему ?quivalenklasseneinteilung на сумму (с символами из ). п < 1 , 2 , . , п >>
Парастрофия
Изотопия
Основные классы
Если объединить парастрофию и изотопию отношений эквивалентности, получится новое разделение классов эквивалентности, разделение на так называемые основные классы . Два латинских квадрата принадлежат к одному и тому же основному классу, если они могут быть преобразованы друг в друга комбинацией парастрофических и изотопных операций. Каждый основной класс содержит 1, 2, 3 или 6 изотопных классов. Число основных классов латинских квадратов порядка последовательности форм A003090 в OEIS . ЧАС п > п
литература
Технические статьи по отдельным вопросам
- Чарльз Колборн : Сложность заполнения частичных латинских квадратов . В кн . : Дискретная прикладная математика . Лента 8 , 1984, стр. 25-30 , DOI : 10.1016 / 0166-218X (84) 90075-1 .
Дизайн экспериментов и теория дизайна
Комбинаторика и дискретная математика
- Якобус Хендрикус ван Линт , Р. М. Уилсон: Курс комбинаторики . 2-е издание. Издательство Кембриджского университета, Кембридж 2001, ISBN 0-521-80340-3 .
- Иржи Матушек, Ярослав Нешетржил: Дискретная математика . Путешествие открытий. Springer, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк / . 2002, ISBN 3-540-42386-9 , стр. 157 ff . ( Онлайн - английский: приглашение к дискретной математике . Перевод Ханса Мильке, учебник, требующий небольших предварительных знаний - математика для продвинутых классов до 2 семестра изучения математики).
программирование
- Дональд Э. Кнут : Том 4A: Комбинаторные алгоритмы, часть 1 . В кн . : Искусство программирования . 1-е издание. Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс 2011, ISBN 0-201-03804-8 , стр. XV и 883 ff . (Английский, обзор полного собрания сочинений [доступ 28 февраля 2012 г.]).
веб ссылки
Отдельные ссылки и комментарии
-
Эта страница последний раз была отредактирована 19 августа 2021 в 12:31.
История математики заполнена прозорливыми догадками — интуитивными гипотезами людей с большой математической интуицией. Часто эти гипотезы в течение столетий ждут своего доказательства или опровержения. Когда же, в конце концов, они появляются, то становятся математическими событиями первой величины. Об одном таком событии докладывалось в апреле 1959 года на ежегодной встрече Американского математического общества. Это опровержение известной гипотезы великого математика Леонарда Эйлера.
Леонард Эйлер (1707–1783 )
Эйлер был убежден, что греко-латинские квадраты определенных порядков теоретически не существуют. Три математика — Е.Т. Паркер, Р.С. Боуз и С.С. Шрикханде — полностью опровергли гипотезу Эйлера. Они разработали методы построения нескольких квадратов, существование которых, по мнению последователей Эйлера, 177 лет считалось невозможным.
Но с подробностями следует повременить, познакомимся сперва с основным предметом этой статьи. Итак, знакомьтесь.
Латинские и греко-латинские квадраты
Латинский квадрат n-го порядка — таблица размеров nxn , заполненная n элементами множества M таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент из M встречается в точности один раз:
Рисунок 1. Примеры латинских квадратов 2-го и 3-го порядков
Известно, что латинские квадраты существуют для любого n . Как видим, латинские квадраты 2-го и 3-го порядков весьма просты. Впервые латинские квадраты 4-го порядка были рассмотрены в книге "Шамс аль Маариф" ("Книга о Солнце Гнозиса"), написанной Ахмадом аль-Буни в Египте приблизительно в 1200 году. Но определяющей вехой в истории исследований латинских квадратов стала работа Леонарда Эйлера, написанная им в последние годы жизни, "R echerches sur une nouvelle espece de quarres magiques" ("Исследование, посвященное новым видам магических квадратов", 1782).
Кстати, о названиях. В настоящее время в качестве множества M обычно берется множество натуральных чисел n > или множество n – 1>, однако Эйлер использовал буквы латинского алфавита, откуда латинские квадраты и получили своё название.
Латинские квадраты находят широкое применение в алгебре, комбинаторике, статистике, криптографии, теории кодов и многих других областях. Существует ряд игр, в которых используются латинские квадраты. Наиболее известна из них судоку . В ней требуется частичный квадрат дополнить до латинского квадрата 9-го порядка, обладающего дополнительным свойством: все девять его подквадратов содержат по одному разу все натуральные числа от 1 до 9.
Внимание Эйлера к латинским квадратам было вызвано изучением более сложных математических объектов — греко-латинских квадратов. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим левый квадрат на рисунке 2.
Рисунок 2. Греко-латинский квадрат (справа), образованный наложением
двух латинских квадратов (левого и центрального)
В шестнадцати ячейках этого квадрата расположены латинские буквы a , b , c и d таким образом, что каждая буква появляется один раз в каждом ряду и один раз в каждой колонке. В центре рисунка изображен другой латинский квадрат, ячейки которого обозначены соответствующими греческими буквами. Если мы совместим эти квадраты, что показано на рисунке справа, то увидим, что каждая латинская буква соединяется с каждой греческой буквой один единственный раз. Когда таким образом можно объединить два или более латинских квадрата, то они называются взаимно-ортогональными . Именно такие объединенные квадраты известны как греко-латинские .
Правый квадрат на рисунке 2 дает одно из решений популярной карточной задачи XVIII века:
Возьмите из карточной колоды всех тузов, королей, дам, валетов и расположите их в квадрате так, чтобы каждый ряд и каждая колонка содержали все четыре наименования и все четыре масти.
Читатель может поискать другое решение, удовлетворяющее условию, чтобы две главные диагонали содержали все четыре масти и все четыре наименования (см. в конце статьи).
Возможно существование и большего количества таких латинских квадратов, любая пара из которых ортогональна. На рисунке 3 изображено четыре взаимно-ортогональных латинских квадрата пятого порядка, для которых в качестве символов использованы цифры.
Рисунок 3. Четыре взаимно-ортогональных латинских квадрата 5-го порядка
Гипотеза Эйлера
Еще во времена Эйлера было доказано, что греко-латинские квадраты 2-го порядка не существуют. Были известны квадраты 3-го, 4-го и 5-го порядков. Ну а что можно сказать о квадратах 6-го порядка? Эйлер сформулировал этот вопрос в виде "задачи о 36 офицерах":
Необходимо разместить 36 офицеров шести различных полков и шести различных воинских званий в каре так, чтобы в каждой колонне и в каждом ряду был ровно один офицер каждого полка и каждого воинского звания.
Эйлер показал, что задача n 2 офицеров, аналогична построению греко-латинского квадрата n -го порядка и может быть разрешена, если n выражается нечетным числом или числом, кратным четырем (то есть числом, делящимся на 4). На основе своих исследований он установил:
У меня нет сомнений в том, что невозможно построить квадрат с 36 ячейками. То же верно и для n = 10, n = 14 и вообще для всех чисел, не кратных 4.
Этот вывод получил известность как гипотеза Эйлера . Эту мысль можно выразить следующим образом:
для любых положительных целых чисел k не существует пар ортогональных латинских квадратов порядка n = 4k + 2 .
Заключительное предложение упомянутой выше научной работы Эйлера гласит:
На этом я заканчиваю свои исследования вопроса, который, хотя сам по себе полезен мало, приводит нас к довольно важным результатам комбинаторики, а также общей теории магических квадратов.
В 1901 году французский математик Гастон Тьерри опубликовал доказательство того, что гипотеза Эйлера верна для квадратов 6-го порядка. Тьерри со своим братом проделал огромную работу. Он составил каталог всех возможных вариантов построения латинского квадрата 6-го порядка, а затем показал, что никакие пары не образуют греко-латинский квадрат. Это, конечно, подкрепило гипотезу Эйлера. Несколько математиков даже опубликовали "исчерпывающие доказательства" того, что гипотеза верна, но позже в этих доказательствах были обнаружены ошибки.
Мало полезный вопрос
История гипотезы Эйлера является знаменательным примером единства науки — ведь начальный импульс, который привел к ее решению, выдвинут практическими нуждами планирования экспериментирования. Исследования, которые сам Эйлер считал бесполезными, оказывается, имеют огромную ценность во многих отраслях науки.
Сэр Рональд Фишер, профессор генетики Калифорнийского университета и один из ведущих мировых статистиков и биологов своего времени, был первым, кто еще в начале 1920-х годов показал, как использовать латинские квадраты в аграрных исследованиях.
Сэр Рональд Фишер
Витраж с латинским квадратом 7-го порядка
в одном из колледжей Кембриджа, посвященный Р.Фишеру
Предположим, что необходимо испытать при минимальных затратах времени и средств влияние на рост пшеницы семи сельскохозяйственных химикатов. Одной из существенных трудностей при испытаниях такого рода является то, что плодородие различных участков почвы обычно зависит от случайных факторов. Каким образом можно спланировать эксперимент, который позволит испытать одновременно все семь химикатов и в то же самое время ограничить любые посторонние влияния, обусловленные случайными факторами? Ответ: разделите пшеничное поле на делянки, которые будут представлять ячейки квадрата со стороной в семь ячеек, затем примените семь "обработок" по модели случайно выбранного латинского квадрата. Благодаря наличию модели, простой статистический анализ результатов ограничит любые ошибки, обусловленные случайными изменениями плодородия почвы.
А теперь предположим, что вместо одного сорта пшеницы необходимо испытать семь. Можно ли спланировать такой эксперимент, который позволит учесть эти четыре переменных? (Остальные три переменных отражаются плодородием рядов, плодородием колонок и видом обработки.) Теперь для получения ответа используется греко-латинский квадрат. Греческие буквы покажут, где разместить семь сортов пшеницы, а латинские буквы – где применить семь различных химикатов. И в этом случае статистический анализ результатов не будет представлять сложности.
В наше время греко-латинские квадраты широко используются для планирования экспериментов в биологии, медицине, социологии и даже маркетинге. Конечно, "делянки" уже не будут участками почвы. Они могут представлять коров, пациентов, листья, клетки с животными, место для введения инъекций, период времени и даже наблюдателя или группу наблюдателей. Греко-латинский квадрат является просто моделью эксперимента. Его ряды представляют одну из переменных, колонки – другую, латинские буквы – третью, а греческие буквы – четвертую.
К примеру, исследователь-медик может спланировать эксперимент по влиянию пяти различных медикаментов на пациентов пяти различных возрастных групп, пяти различных весовых групп и пяти различных стадий одной и той же болезни. Наиболее эффективной конструкцией, которую может использовать исследователь в данном случае, является греко-латинский квадрат 5-го порядка, отобранный случайным образом из всех возможных квадратов этого порядка. При необходимости исследования влияния большего количества переменных можно использовать наложение дополнительных латинских квадратов, хотя для любого порядка n существует не больше n – 1 взаимно ортогональных квадратов.
И все-таки он существует!
Не смотря на то, что на заре ХХ века гипотеза Эйлера была подтверждена для латинских квадратов 6-го порядка, до полной ясности было еще далеко. Дело в том, что с увеличением порядка квадрата объем работы по нахождению решения путем полного перебора возможных вариантов быстро возрастает.
В 1959 году анализ квадрата 10-го порядка был почти за пределами возможностей компьютеров. В Калифорнийском университете математики из Лос-Анджелеса запрограммировали компьютер (программа называлась SWAC ) для исследования греко-латинских квадратов 10-го порядка. Более 100 часов работы компьютера не принесли успеха в построении даже одного квадрата. Результаты исследования составили такую микроскопическую долю общих случаев, что было невозможно сделать какие-либо выводы. Было установлено, что если гипотеза Эйлера и верна, то для того, чтобы ее доказать с применением программы SWAC , потребуется, по крайней мере, столетняя работа самого быстродействующего на тот момент компьютера. Но все оказалось не так безнадежно.
История о том, как Паркер, Боуз и Шрикханде сумели найти греко-латинские квадраты порядка 10, 14, 18, 22 и т.д., началась в 1958 году, когда Паркер сделал открытие, подвергавшее серьезному сомнению правильность гипотезы Эйлера. Вслед за Паркером Боуз разработал несколько общих правил построения греко-латинских квадратов больших порядков. Применив эти правила, Боуз и Шрикханде получили теоретическую возможность построить греко-латинский квадрат 22-го порядка. Так как 22 является четным числом, не делящемся на 4, гипотеза Эйлера была опровергнута.
Интересно отметить, что методика построения этого квадрата была основана на решении сформулированной Киркманом известной задачи занимательной математики под названием "Задача про школьниц". В 1850 году Т.П. Киркман предложил такую задачу:
Школьная учительница по заведенному порядку выводит своих 15 девочек на дневную прогулку, всегда выстраивая их по три в пять рядов. Задача заключается в том, чтобы в течение 7 учебных дней выстраивать девочек так, что ни одна из них не гуляла больше одного раза в одном и том же ряду с любой другой девочкой.
Эта задача является примером важного вида экспериментального построения, известного как "сбалансированные неполные блоки".
Когда Паркер познакомился с результатами, полученными Боузом и Шрикханде, ему удалось разработать новый метод, применение которого привело к построению греко-латинского квадрата 10-го порядка. Первый "настоящий", а не теоретический, как у Боуза и Шрикханде, греко-латинский квадрат, в существование которого не верил сам Леонард Эйлер, был получен. Этот квадрат изображен на рисунке 4.
Магические квадраты
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 x 3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были равны 15 (рис.6). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.
Известно, что составлением магических квадратов увлекались в Древнем Китае несколько тысяч лет назад.
Магического квадрата размером 2 x 2 не существует. Существует единственный магический квадрат размером 3 x 3, внешне отличные от него варианты можно получить либо зеркальным отображением чисел относительно осей симметрии рассмотренного квадрата (их у квадрата 4, см. рис.7), либо поворотом на 90 0 вокруг центра квадрата (рис.8).
Рисунок 7 Рисунок 8
Пример 5. Составьте магический квадрат, полученный из квадрата, изображенного на рис.6:
1) зеркальным отображением клеток от горизонтальной оси симметрии квадрата;
2) поворотом клеток квадрата на 90 0 вокруг его центра против часовой стрелки.
С увеличением количества клеток, на которые разбит квадрат, увеличивается число возможных магических квадратов.
Например, число всевозможных магических квадратов размером 4 x 4 (с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговоренным правилам) уже 880, а число магических квадратов размером 5 x 5 более 200 000.
Пример магического квадрата размером 4 x 4 приведен на рис.9.
Латинские квадраты
Латинскими называют квадраты размером n x n клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причем таким образом, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.10 приведен пример латинского квадрата размером 3 x 3.
На рис.11, а изображены два латинских квадрата размером 4 x 4, которые имеют такую особенность: если один квадрат наложить на другой (например, второй квадрат считать сделанным из прозрачной бумаги и положить его на первый), то все пары образовавшихся двухзначных чисел (рис.11, б), будут различными. Такие пары латинских квадратов называют ортогональными.
Пример 6. Составьте латинский квадрат, ортогональный квадрату, изображенному на рис.10
Решение. Запишем числа изображенного на рис.12 квадрата в левой половине клеток (рис.12, а). Допишем, справа от них цифры, чтобы в клетках образовались всевозможные двузначные цифры 1, 2 и 3. Будем следить за тем, чтобы вторые цифры чисел в строках и столбцах не повторялись. Затем образуем квадрат из вторых цифр, полученных в клетках чисел (рис.12, б).
Впервые задачу построения латинских квадратов сформулировал Л. Эйлер (1707 - 1783), причем в такой форме: ”Среди 36 офицеров 6 улан, 6 драгун, 6 гусар, 6 кирасир, 6кавалергардов и 6 гренадеров, и, кроме того, среди них поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков. При этом каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли этих офицеров выстроить в каре 6 x 6 так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге были офицеры всех рангов? ”
Эйлер не мог решить эту задачу, а позднее в 1901 г. Математики доказали, что ортогональных латинских квадратов 6 x 6 не существует. И лишь в 1959 г. С помощью ЭВМ было обосновано, что для любого n, кроме 6, существует ортогональные квадраты размера n x n.
На рис.13 представлен вариант эйлеровых ортогональных латинских квадратов размером 5 x 5 для: а) 5 улан (обозначены цифрой 1); 5 драгун (обозначены цифрой 2); 5 гусар (обозначены цифрой 3); 5 кирасир (обозначены цифрой 4); 5 кавалергардов (обозначены цифрой 5); б) 5 генералов (обозначены цифрой 1); 5 полковников (обозначены цифрой 2); 5 майоров (обозначены цифрой 3); 5 капитанов (обозначены цифрой 4); 5 поручиков (обозначены цифрой 5).
1. Подсчитайте число однобуквенных слов русского языка.
2. Перечислите знакомые виды:
3. Составьте всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:
4. Подсчитайте, сколько среди букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К таких, которые имеют:
1) вертикальную ось симметрии;
2) горизонтальную ось симметрии.
5. Запишите первые двенадцать квадратных чисел.
6. запишите n-е по порядку квадратное число, если:
7. Каким по порядку квадратным числом является число:
8. Запишите n-е по порядку треугольное число, если:
9. Запишите первые десять треугольных чисел.
10. Запишите n-е по порядку пятиугольное число, если:
11. Изобразите, как это делали в древности, с помощью кружков (камешков) простое число:
12. Изобразите, как это делали в древности, с помощью кружков (камешков) всеми возможными способами составное число:
Читайте также: