webdonsk.ruКак сделать котангенс в маткаде
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 29.08.2024
Цитата: Stanislav60 написал 18 мая 2011 15:22
Здравствуйте !
У меня такой вопрос. Ни в инженерном калькуляторе,
ни в программе МАТКАД 14 нет функции .
котангенс. Каким образом тогда его определять?
Еще вопрос. Тангенс и котангенс положительны в
1 и 3 четвертях и соответственно отрицательные во
2 и 4 четвертях. Существуют ли числа v для которых
tg v = -2,5 ; tg v = 5,2: tg v = 0,31; tg v = -7,5 ?
Думаю тангенс может принимать любое значение,
но надо учитывать плюс и минус. Этот момент мне не понятен.
Смотрите определение. Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу, или равносильное ctg(x) = 1/tg(x).
В маткаде котангенс выдаётся функцией cot() - посмотрите в разделе тригонометрических функций, она там есть.
Цитата: Stanislav60 написал 23 мая 2011 12:28
Смотрите "ВСТАВИТЬ" -> "ФУНКЦИЮ", в открывшемся окне слева выбираете категорию функции "Тригонометрические" - справа представится соответствующий список, среди которых найдёте и cot()
(смотрел в 13 русифицированном маткаде)
Цитата: Stanislav60 написал 23 мая 2011 12:28
Да, да, существует и не одно! Я же уже писал об этом.
Общее решение уравнения
tg v = a
есть
v = arctg(a) + pn, где n - целое.
Арктангенс от a определён для любого вещественного a, поэтому решение всегда есть.
В частности, решениями tg v = 5.2 будут
v = arctg(5.2), arctg(5.2)±p, arctg(5.2)±2p, arctg(5.2)±3p, и т.д.
Цитата: Stanislav60 написал 23 мая 2011 12:28
3. Как с помощью инженерного калькулятора определить градусную меру углов 0,384; 0,48; 1,11; 1,48 ?
Могу перевести радианную меру углов в градусную и наоборот. По калькулятору переведу градиенты в градусы. Определить угол можно по какому либо значению любой тригонометрической функции. Как не зная тригонометрической функции определить значение угла в градусах зная только какое либо число?
Цитата: Stanislav60 написал 24 мая 2011 16:06
Полагаю, Вас ввело в недоумение следующее обстоятельство.
Дело в том, что в математич. анализе градусные меры углов практически не используют, а пользуются их естественной мерой - радианом.
Радиан безразмерен и нет нужды каждый раз таскать излишнее пояснение "рад." перед соответствующими числовыми значениями - поэтому его обычно и не применяют, а пишут просто число.
Вот и в приведённом задании - числа 0,384; 0,48; 1,11; 1,48 - это величины углов в радианах, которые нужно выразить в градусах, минутах и секундах соответственно.
Перевод осуществляется довольно просто. Выше я уже упоминал какая связь между градусами и радианами:
Отсюда же следует что, например, углу в y (радиан) будет соответствовать градусная мера y·180°/p.
Подставляя вместо y первое из приведённых в задании чисел, а также
p?3,1415926535
получаем, что ему будет соответствовать угол
y·180°/p ? 0,384·180°/3,1415926535 ? 22,001579°.
Дробную часть градусов следует перевести в минуты и секунды.
Зная, что 1°=60`, получаем что
0,001579° = 0,001579·60` = 0,09474`,
т.е. ноль полных минут.
Точно также, учтя 1`=60“, находим секунды:
0,09474` = 0,09474·60“ = 5,6844 ? 6“.
Полная выкладка:
y·180°/p ? 0,384·180°/3,1415926535 ? 22,001579° ? 22°6“.
Аналогично находятся градусные меры остальных углов.
Цитата: Stanislav60 написал 24 мая 2011 16:06
Нашел тригонометрические функции в МАТКАДе .Значения функций в МАТКАДе и по калькулятору находятся по разному.Например: В самоучителе МАТКАД 12 приведен пример sin(0.5) = 0.479. Что
это за число и что с ним делать непонятно? По калькулятору sin?? (0.5) = 30° градусам, а sin(30) = 0,5. По компьютеру это выглядит следующим образом.
Sin(p 30/180) = 0.5 asin(0.5) 180/p = 30
sin(0.5) = 0.479
означает что берётся синус от угла 0.5 (радиан).
В этом смысле МАТКАД произвёл расчёт верно.
№2 сравнить
2
а) ?6 и ?5 б) ?1.5 и ?1-
3
a)3?2 + ?50 - ?18 б) (2?5 - ?27) x ?3 - 2?15
№4 решить уравнение
27
а) x? - 64x=0 б) x? - 3x? - 3x + 9=0 в) x4(степени) - 3x? + - =0
16
№5
2x 2 7
а)_______________ - _______________ = __________
x? - 2x + 1 x? - 2x? + x 3x? - x
1 1 1 1
б) ____________ - ________ = ________ - _______
x - 5 x - 7 x - 1 x - 3
На двух станках отштамповали 1800 деталей за 12ч.Известно,что 180 деталей на первом станке штампуют на 1ч быстрее,чем на втором.Сколько деталей в час штампуют на первом станке
№7 решить уравнение
3
x? - 3x -1 + ------------ = 0
x? - 3x + 3
sin(0.5) = 0.479
означает что берётся синус от угла 0.5 (радиан).
В этом смысле МАТКАД произвёл расчёт верно.
— Арктангенса нет на панелях инструментов, поэтому его нужно найти в специальном списке функций. Вызвать этот список можно либо сочетанием [Ctrl]+[E], либо выполнив команду Insert / Function (Вставка/Функция), либо при помощи специальной кнопки панели Standard (Стандартная). В открывшемся окне есть список категорий функций (Function Category), список самих функций выбранной категории (Function Name), а также окно информации о выбранной функции. По умолчанию определена категория All (Все) и в окне Function Name находится полный список всех встроенных функций MathCAD.
Очевидно, что арктангенс нужно искать в категории Trigonometric (Тригонометрические). Среди множества всевозможных тригонометрических функций находится 2 вида арктангенса (Atan и Atan2).
Для того чтобы определить, какой из них следует выбрать, прочитаем описание для каждого:
Atan(Z). \"Returns the angle (in radians) whose tangent is z. Principal value for complex z.\" \"Возвращает угол (в радианах), для которого тангенс — это Z. Главное значение для комплексного Z\".
Atan2(x,y). \"Returns the angle (in radians) from the x-axis to a line containing the origin (0, 0) and the point (x, y). Both x and y must be real.\" \" Возвращает угол (в радианах) между осью x и линией, содержащей точку начала координат и точку (x,y). X и Y должны быть действительными\".
Очевидно, нужно использовать первую функцию. Выбираем ее и нажимаем Ok.
2) Выражение введено, но параметры его вида, установленные по умолчанию, зачастую могут не удовлетворить пользователя. Для того чтобы отредактировать вид выражения, нужно при помощи команды Format/Equation (Формат/Уравнение) вызвать соответствующее меню.
Здесь вы можете определить цвет шрифта формул (Default equation color), выбрать стиль (Style name). При помощи кнопки Modify (Модифицировать) вы можете изменить стиль текста формул: выбрать тип, размер, начертание шрифта. Чтобы поменять параметры самой математической области, выполните правый щелчок мышью по любой точке редактируемой формулы и в открывшемся контекстном меню выберите пункт Properties (Свойства).
• sinh(z) , cosh(z) , tanh(z) , csch(z) , sech(z) , coth(z) — возвращают гиперболический синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс параметра z соответственно.
Значения гиперболических функций зависят от ошибок округления, если аргумент очень большой или существует сингулярность. Значения обеих функций cosh и sinh становятся неограниченными, если аргумент стремится к ±?.
Гиперболические функции относятся к тригонометрическим функциям.
• z — безразмерное скалярное значение в радианах или вектор скалярных значений.
Тригонометрические функции Mathcad и обратные им определены для любого комплексного аргумента. Они также возвращают комплексные значения везде, где необходимо. Результаты для комплексных значений вычисляются с использованием тождеств:
Для применения этих функций к каждому элементу вектора или матрицы используйте оператор векторизации.
Обратите внимание, что все эти тригонометрические функции используют аргумент, выраженный в радианах. Чтобы перейти к градусам, используется встроенная единица deg . Например, чтобы вычислить синус 45 градусов, введите sin(45*deg) .
Имейте в виду, что из-за ошибок округления, свойственных машинной арифметике, Mathcad может возвращать очень большое число в той точке, где находится особенность вычисляемой функции. Вообще, необходимо быть осторожным при вычислениях в окрестности таких точек.
Возвращает синус z. В прямоугольном треугольнике это — отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
Возвращает косинус z. В прямоугольном треугольнике это — отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
Возвращает (sin(z)/cos(z)), тангенс z. В прямоугольном треугольнике это — отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета; z не должен быть кратным ?/2.
Возвращает 1/sin(z), косеканс z; z не должен быть кратным ?.
Возвращает 1/cos(z), секанс z; z не должен быть кратным ?/2.
Возвращает 1/tan(z), котангенс z; z не должен быть кратным ?.
Обратные тригонометрические функции, приведенные ниже, возвращают угол в радианах между 0 и 2?. Чтобы преобразовать этот результат в градусы, можно также пользоваться встроенной единицей deg или напечатать deg в поле единиц.
Из-за ошибок округления, свойственных машинной арифметике, в результате вычисления atan достаточно большого числа получается значение . Как правило, лучше всего избегать численных вычислений около таких особенностей.
Возвращает угол (в радианах), чей синус — z.
Возвращает угол (в радианах), чей косинус — z.
Возвращает угол (в радианах), чей тангенс — z.
Гиперболические функции sinh и cosh определяются формулами:
Эти функции также могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями. Справедливы формулы:
sinh(iz)=isin(z)cosh(iz)=cos(z)
Возвращает гиперболический синус z.
Возвращает гиперболический косинус z.
Возвращает sinh( z )/cosh( z ), гиперболический тангенс z.
Возвращает 1/sinh( z ), гиперболический косеканс z.
Возвращает 1/cosh( z ), гиперболический секанс z.
Возвращает 1/tanh( z ), гиперболический котангенс z.
Возвращает число, чей гиперболический синус — z.
Возвращает число, чей гиперболический косинус — z.
Возвращает число, чей гиперболический тангенс — z.
Логарифмические и показательные функции
Логарифмические и показательные функции Mathcad могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Значения экспоненциальной функции для комплексного аргумента вычисляются с применением формулы
e x+iy =e x (cos(y) + isin(y))
Вообще говоря, значения натурального логарифма даются формулой
ln(x + iy)=ln|x + iy|+ atan(y/x)i + 2n?i
В Mathcad функция ln возвращает значение, соответствующее n = 0. А именно:
ln(x + iy)=ln|x + iy|+ atan(y/x)i
Оно называется основным значением логарифма. Рисунок 1 иллюстрирует некоторые основные свойства логарифма.
Возвращает e в степени z.
Возвращает натуральный логарифм z. (z0).
Возвращает логарифм z по основанию 10. (z0).
На Рисунке 1 показано, как можно использовать эти функции для вычисления логарифма по любому основанию.
Рисунок 1: Использование логарифмических функций.
Эти функции обычно возникают как решения для волнового уравнения, подчиненного цилиндрическим граничным условиям.
Функции Бесселя первого и второго рода, J n (x) и Y n (x), являются решениями для дифференциального уравнения
Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, I n (x) и K n (x), являются решениями для немного видоизмененного уравнения:
Возвращает J 0 (x); x вещественный.
Возвращает J 1 (x); x вещественный.
Возвращает J n (x); x вещественный, 0 m 100.
Возвращает Y 0 (x); x вещественный, x > 0.
Возвращает Y 1 (x); x вещественный, x > 0.
Возвращает Y n (x). x > 0, 0 m 100
Возвращает I 0 (x); x вещественный.
Возвращает I 1 (x); x вещественный.
Возвращает I n (x); x вещественный, 0 m 100.
Возвращает K 0 (x); x вещественный, x > 0.
Возвращает K 1 (x); x вещественный, x > 0.
Возвращает K n (x). x > 0, 0 m 100
Следующие функции возникают в широком круге задач.
Возвращает значение интеграла ошибок в x :
x должен быть вещественным.
Возвращает значение эйлеровой гамма-функции в z . Для вещественного z значения этой функции совпадают со следующим интегралом:
Для комплексных z значения — аналитическое продолжение вещественной функции. Гамма-функция Эйлера неопределена для z = 0,-1,-2, .
Гамма-функция Эйлера удовлетворяет рекуррентному соотношению
Откуда следует для положительных целых z:
Интеграл ошибок часто возникает в статистике. Он может также быть использован для определения дополнения интеграла ошибок по формуле:
Все эти функции извлекают какую-либо часть своего аргумента.
Функции Re, Im и arg извлекают соответствующую часть комплексного числа. Подробнее см. Главу “Переменные и константы”. Функции ceil и floor возвращают ближайшее целое число большее и меньшее аргумента соответственно. Эти функции могут быть использованы для создания функции, возвращающей дробную часть числа:
mantissa (x):= x - floor (x)
Рисунок 2 показывает использование функций floor и ceil для округления.
Рисунок 2: Создание функции округления.
Вещественная часть z .
Аргумент z : значение ?, когда z представлен в форме r e i ? . Результат заключен между -? и ?.
Наибольшее целое число x ( x вещественный).
Наименьшее целое число x ( x вещественный).
Остаток от деления x на y . Результат имеет тот же самый знак, что и x .
Угол (в радианах) между положительной полуосью x и вектором ( x, y ) в плоскости x-y . Аргументы должны быть вещественны. Возвращает значение между 0 и 2?.
Mathcad содержит функции для выполнения быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и его обращения. В Mathcad PLUS имеется также одномерное дискретное волновое преобразование и его обращение. Все эти функции имеют векторные аргументы. При определении вектора v для нахождения волнового преобразования или преобразования Фурье убедитесь, что первый элемент вектора имеет нулевой индекс: v 0 . Если элемент v 0 не определен, Mathcad автоматически устанавливает его равным 0. Это может привести к искажению результата.
Введение в дискретное преобразование Фурье
В Mathcad входят два типа функций для дискретного преобразования Фурье: fft/ifft и cfft / icfft . Эти функции дискретны: они берут в качестве аргументов и возвращают векторы и матрицы. Они не могут быть использованы с другими функциями.
Используйте функции fft и ifft , если выполнены следующие два условия:
аргументы вещественны, и
вектор данных имеет 2 m элементов.
Используйте функции cfft и icfft во всех других случаях.
Первое условие необходимо, потому что функции fft/ifft используют тот факт, что для вещественных данных вторая половина преобразования Фурье является комплексно сопряженной с первой. Mathcad отбрасывает вторую половину вектора-результата. Это сохраняет и время и память при вычислениях.
Пара функций cfft/icfft не использует симметрию в преобразовании. По этой причине необходимо использовать их для комплексных данных. Так как вещественные числа — подмножество комплексных чисел, можно также использовать пару cfft/icfft для вещественных чисел.
Второе условие требуется, потому что пара функций fft/ifft использует высоко эффективный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого вектор аргумента, используемого с fft , должен иметь 2 m элементов. В функциях сfft/icfft использован алгоритм, который допускает в качестве аргументов как матрицы, так и векторы произвольного размера. Когда эта пара функций используется с матрицей в качестве аргумента, вычисляется двумерное преобразование Фурье.
Обратите внимание, что, если использована функция fft для прямого преобразования, необходимо использовать функцию ifft для обратного. Аналогично, если для прямого преобразования использована cfft , то для обратного необходимо использовать icfft .
Различные формулировки определения преобразования Фурье используют различные нормировочные коэффициенты и соглашения о знаке перед мнимой единицей в показателе экспоненты прямого и обратного преобразований. Функции fft, ifft, cfft и icfft используют 1/ как нормировочный коэффициент и положительный показатель степени в прямом преобразовании. Функции FFT , IFFT , CFFT и ICFFT используют 1/N как нормировочный коэффициент и отрицательный показатель степени в прямом преобразовании. Необходимо использовать эти функции попарно. Например, если используется CFFT в прямом преобразовании, необходимо использовать ICFFT в обратном.
Преобразование Фурье в вещественной области
Для вещественнозначных векторов с 2 m элементами можно применять пару функций fft/ifft . В алгоритме вычисления этих функций используются преимущества симметрии, существующей только для вещественных данных. Это позволяет сохранить и время, и память, необходимые для вычислений.
Возвращает дискретное преобразование Фурье 2 m -мерного вещественнозначного вектора. Аргумент можно интерпретировать как результат измерений через равные промежутки времени некоторого сигнала.
Элементы вектора, возвращаемого fft, вычисляются по формуле
В этой формуле n — число элементов в v , i — мнимая единица.
Элементы в векторе, возвращенном функцией fft , соответствуют различным частотам. Чтобы восстанавливать фактическую частоту, необходимо знать частоту измерения исходного сигнала. Если v есть n -мерный вектор, переданный функции fft , и частота измерения исходного сигнала — f s , то частота, соответствующая , равна
Обратите внимание, что это делает невозможным обнаружить частоты выше частоты измерения исходного сигнала. Это — ограничение налагаемое не Mathcad, а самой сутью проблемы. Чтобы правильно восстанавливать сигнал по его преобразованию Фурье, необходимо произвести измерения исходного сигнала с частотой, по крайней мере вдвое большей, чем ширина полосы частот. Полное обсуждение этого явления лежит за пределами данного руководства, но его можно найти в любом учебнике по цифровой обработке сигналов.
Возвращает обратное дискретное преобразование Фурье; результат — вещественнозначный.
Аргумент v — вектор, подобный созданному функцией fft. Чтобы вычислить результат, Mathcad сначала создает новый вектор w , комплексно сопряженный v , и присоединяет его к вектору v . Затем Mathcad вычисляет вектор d , чьи элементы вычисляются по формуле:
Это та же самая формула, что и для fft , кроме знака минус в функции exp . Функции fft и ifft — точные обращения. Для всх вещественнозначных v справедливо ifft(fft(v))=v.
Преобразование Фурье в комплексной области
Имеются две причины, по которым не могут быть использованы пары преобразований fft/ifft, обсужденные в предыдущем разделе:
Данные могут быть комплекснозначны. Это означает, что Mathcad не может больше использовать симметрию, имеющую место в вещественном случае.
Вектор данных может иметь размерность, отличную от 2 m . Это означает, что Mathcad не может пользоваться преимуществом высокоэффективного алгоритма БПФ, используемого парой fft/ifft .
Комплексное преобразование Фурье требует следующих функций:
Возвращает дискретное преобразование Фурье комплекснозначных вектора или матрицы. Возвращаемый массив имеет тот же самый размер, что и массив, используемый как аргумент.
Возвращается обращение дискретного преобразования Фурье вектора или матрицы данных. Функция icfft — обратная к функции cfft . Подобно cfft , эта функция возвращает массив того же самого размера, что и аргумент.
Рисунок 3: Использование быстрых преобразований Фурье в Mathcad.
Пара преобразований cfft/icfft может работать с массивами любого размера. Однако они работают значительно быстрее, когда число строк и столбцов может быть представлено в виде произведения большого количества меньших сомножителей. Например, векторы с длиной 2 m относятся к этому классу, так же как и векторы, имеющие длины, подобные 100 или 120. С другой стороны, вектор, чья длина — большое простое число, замедлит вычисление преобразования Фурье.
Функции cfft и icfft — обратные друг к другу. То есть icfft(cfft(v))=v. Рисунок 3 показывает примеры использования преобразования Фурье в Mathcad.
Когда в качестве аргумента cfft используется матрица, результат есть двумерное преобразование Фурье исходной матрицы.
Альтернативные формы преобразования Фурье
Определения преобразования Фурье, обсужденные выше, не являются единственно возможными. Например, следующие определения для дискретного преобразования Фурье и его обращения можно найти в книге Ronald Bracewells, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1986):
Эти определения весьма распространены в технической литературе. Чтобы использовать эти определения вместо обсужденных в предыдущем разделе, используйте функции FFT , IFFT , CFFT и ICFFT . Они отличаются следующим:
Вместо коэффициента 1/ перед обеими формулами в прямом преобразовании стоит коэффициент 1/n, и коэффициент 1 в обратном преобразовании.
Знак минус появляется в показателе экспоненты прямого преобразования и исчезает в формуле обратного.
Функции FFT , IFFT , CFFT и ICFFT используются аналогично функциям, обсужденным в предыдущем разделе.
A Mathcad PLUS включены две функции волновых преобразований: для выполнения прямого одномерного дискретного волнового преобразования и его обращения. Преобразование выполняется с использованием четырехкоэффициентного волнового базиса Даубечи.
Возвращает дискретное волновое преобразование v , 2 m -мерного вещественнозначного вектора. Возвращается вектор того же самого размера, что и v .
Возвращает обращение дискретного волнового преобразования v , 2 m -мерного вещественнозначного вектора. Возвращается вектор того же самого размера, что и v .
Mathcad содержит три функции, показанные на Рисунке 4, для сортировки массивов и одну для обращения порядка их элементов:
Возвращает элементы вектора v , отсортированные в порядке возрастания.
Сортирует строки матрицы таким образом, чтобы расположить элементы в столбце n в порядке возрастания. Результат имеет тот же самый размер, что и A .
Сортирует столбцы матрицы таким образом, чтобы расположить элементы в строке n в порядке возрастания. Результат имеет тот же самый размер, что и A .
reverse ( v )
reverse ( A )
Обращает порядок элементов вектора v или строк матрицы A .
Функции, описанные выше, используют в качестве аргумента комплекснозначные матрицы и векторы. Однако при их сортировке Mathcad игнорирует мнимую часть.
Для сортировки вектора или матрицы в порядке убывания сначала сортируйте их в порядке возрастания, а затем используйте функцию reverse . Например, reverse(sort( v )) возвращает элементы v , отсортированного в порядке убывания.
Если только значение ORIGIN не изменено, матрицы будут пронумерованы, начиная с нулевой строки и нулевого столбца. Забыв это, легко ошибиться при сортировке матрицы, просто определяя неправильный параметр n для rsort и csort . Чтобы сортировать по первому столбцу матрицы, например, необходимо использовать csort ( A , 0).
Рисунок 4: Функции сортировки.
Кусочно-непрерывные функции полезны для управления ветвлениями и остановками вычислительных процессов. Имеются пять функций Mathcad, относящихся к этому классу. Функция if полезна для выбора одного из двух значений, определяемого условием. Ступенчатая функция Хэвисайда и символ Кронекера ?(m, n) во многом аналогичны функции if .
Функция until используется, чтобы управлять процессом итераций. Это единственая из функций Mathcad, специально предназначенная для работы только с дискретным аргументом, она может остановить итерации при достижении некоторого заданного условия.
Похожие документы:
Управление взаимодействием этих элементов и процессов наиболее трудная, но вместе с тем и определяющая задача в системе организации управления качеством медицинской помощи
В. В. Келле (Письмо к моим русским читателям, Дополнения к тому 1)
В. В. Келле (Письмо моим русским читателям, Дополнения к тому 1)
Гидденс Э. Социология
. этих перемен, и основные типы доминирующих в мире обществ даются в контрасте с предшествующими им. В следующей главе (глава . представлений о классовой структуре. Подобные . также высок. Те, кто выполнял контрольные функции . — идея предопределения, в .
Уроки американского менеджмента
. читатель не получит некоторое представление о всех существенных функциях и переменных. В этой книге обсуждаются по . конфликта, переменах и стрессовых ситуациях в организации, а также о методах эффективного управления ими. Прочитав эту главу, вы .
Рассмотрим некоторые стандартные функции системы MathCAD. Введем специальные обозначения для аргументов функций. Пусть первый символ имени аргумента обозначает его тип:
M – квадратная матрица;
V – вектор (матрица из одного столбца);
A – произвольная матрица;
S – симметричная матрица;
G – произвольная матрица или число;
X – вектор или число;
Z – комплексная матрица или число;
z – комплексное число;
прочие символы – скалярные величины.
Экспоненциальные и логарифмические функции
exp(X) – экспонента от X;
ln(X) – натуральный логарифм от X;
log(X) – десятичный логарифм от X;
log(X,b) – логарифм от X по основанию b.
Гиперболические и тригонометрические (прямые и обратные) функции
sin(X), cos(X), tan(X), cot(X), sec(X), csc(X) – соответственно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс от X, причем аргументы указываются в радианах;
sinh(X), cosh(X), tanh(X), coth(X), sech(X), csch(X) – аналогичные гиперболические функции;
asin(z), acos(z), atan(z), acot(z), asec(z), acsc(z) – соответственно арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс от z.
Функции для работы с комплексными числами
Re(Z), Im(Z) – соответственно вещественная и мнимая части комплексного числа Z;
arg(z) – аргумент комплексного числа z (в радианах).
length(V) – возвращает число элементов вектора V;
cols(A) – возвращает число столбцов матрицы A;
rows(A) – возвращает число строк матрицы A;
matrix(m, n, f) – матрица размером mxn, значения элементов матрицы определяются f – функцией f (i, j) от двух переменных (номера строки и номера столбца). Эта функция должна быть предварительно определена пользователем;
identity(n) – единичная матрица nxn;
tr(M) – след матрицы M (сумма элементов главной диагонали);
rank(A) – ранг матрицы M;
norme(M) – эвклидова норма матрицы M, то есть корень квадратный из суммы квадратов всех элементов;
eigenvals(M) – вектор, элементы которого являются собственными числами матрицы M;
eigenvecs(M) – матрица, состоящая из нормализованных собственных векторов матрицы M;
cholesky(S) – возвращает нижнетреугольную матрицу L – результат разложения Холецкого вида L?LT = S;
lu(M) – возвращает матрицу размера nx3n, состоящую из трех соединенных матриц P, L, U, являющихся результатом LU-разложения вида P?M = L?U.
Пример вычислений с матричными функциями: нахождение собственного числа путем решения матричного уравнения det(M – lE) = 0 и с помощью функции eigenvals.
Элементы статистического анализа данных
gmean(G1,G2,G3…) – среднее геометрическое аргументов;
mean(G1,G2,G3…) – среднее арифметическое аргументов;
stdev(G1,G2,G3…) – среднеквадратичное отклонение.
fft(V1), ifft(V2) – прямое и обратное быстрые преобразования Фурье над вещественными данными. V1 – вектор из 2m элементов, V2 – вектор из 1 + 2m–1 элементов, m > 2;
cfft(A), icfft(A) – прямое и обратное преобразования Фурье над вещественными и комплексными векторами и матрицами;
wave(V), iwave(V) – прямое и обратное вейвлет-преобразования, V – вектор из 2m элементов, m – целое число.
Аппроксимация, интерполяция и экстраполяция
Аппроксимация – поиск функции, которая с заданной степенью точности описывает исходные данные.
Интерполяция – определение наиболее правдоподобных промежуточных значений в интервале между известными значениями (подбор гладкой кривой, проходящей через заданные точки или максимально близко к ним).
Экстраполяция – определение наиболее правдоподобных последующих значений на основании анализа предыдущих значений (предсказание дальнейшего поведения неизвестной функции).
Применяются следующие функции MathCAD:
regress(VX,VY,k) – возвращает вектор данных, используемый для поиска интерполирующего полинома (a0 + a1x + a2x2 + . + akxk) порядка k. Полином должен описывать данные, состоящие из упорядоченных значений аргумента (VX) и соответствующих значений неизвестной функции (VY), то есть график полинома должен проходить через все точки, заданные координатами (VX, VY), или максимально близко к этим точкам;
interp(VS,VX,VY,x) – возвращает интерполированное значение неизвестной функции при значении аргумента x. VS – вектор значений, который вернула функция regress. VX,VY – те же данные, что и для regress. Функции interp и regress используются в паре;
predict(V,m,n) – возвращает вектор из n предсказанных значений на основании анализа m предыдущих значений из вектора V. Предполагается, что значения функции в векторе V были получены при значениях аргумента, взятых последовательно, с одинаковым шагом. Используется алгоритм линейной предикции. Наиболее целесообразно использовать predict для предсказания значений по данным, в которых отмечены колебания.
Для интерполяции система MathCAD использует подход, основанный на применении метода наименьших квадратов.
Примеры интерполяции и экстраполяции:
1.5.1. Пусть заданы координаты пяти точек (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 2), (5; 3), представляющих результаты измерения значений некоторой неизвестной функции при различных значениях x. Необходимо подобрать интерполирующую функцию (гладкую кривую), проходящую через заданные точки.
1.5.2. Дана функция y(i) = e–i/10?sin (i). Известны значения данной функции при i = 0, 1, …, 10. Основываясь на десяти последних значениях, необходимо предсказать последующие десять значений.
Решения показаны на рис. 19.
Рис. 19. Решения в MathCAD первой (а) и второй (б) задач
Нахождение корней полинома
polyroots(V) – возвращает вектор, содержащий все корни полинома a0 + a1x + a2x2 + . + akxk, заданного вектором-столбцом коэффициентов
Читайте также: