Как сделать изометрию усеченной пирамиды

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 10.09.2024

Презентация на тему: " Построение пирамиды в изометрии Построить правильную треугольную пирамиду стороной 6см." — Транскрипт:

1 Построение пирамиды в изометрии Построить правильную треугольную пирамиду стороной 6 см

3 Строим оси изометрии Угол 120 градусов между осями

4 Сторону AB ставим по оси A B C D A B

5 Надо построить CE, где Е-середина АВ A B A B C D Е

6 Дополнительное построение: треугольник ABC A B A B C D Е A C B E

7 Циркулем снимаем расстояние СЕ и ставим точку С на чертёж A B A B C D Е A C B E С

8 Определяем точку О как центр треугольника АВС A B B С A B C D Е О A C E О

9 Определяем точку О на чертеже, перенеся расстояние ОС A B B С A B C D Е О A C E О O

10 Прямая, содержащая высоту пирамиды параллельна оси A B B С A B C D Е О A C E О O

11 Дополнительное построение: Треугольник АОD A B B С D A C E О O A B C Е О A D O АО и AD нам известны

12 Переносим расстояние OD A B B С D A C E О O A B C Е О A D O

13 Пирамида готова! A B B С D A C E О O A B C Е О A D O АО и AD нам известны D

Усечённая пирамида - это многогранник , образующийся из пирамиды путем отсечения её части плоскостью параллельной основанию.

Бумажная развёртка усечённой пирамиды - это плоская геометрическая фигура, которая полностью повторяет поверхность тела и при изгибании и склеивании позволяет воссоздать геометрическое тело.

В зависимости от числа углов основания, усеченные пирамиды так же как и правильные пирамиды различают:

Для создания моделей усечённых пирамид сопоставимых размеров можно использовать свойство пирамиды, когда около пирамиды можно описать конус.

Мы выбрали три конуса различных размеров в каждый из которых может быть вписана 3-х, 4-х, . 9-ти гранная усечённая правильная пирамида:

В этой статье мы построим несколько сечений треугольной пирамиды, будем при этом использовать метод следов. Сначала мы рассмотрим самые простые случаи: когда точки, через которые должно пройти сечение, принадлежат ребрам пирамиды. Потом – случаи сложнее, когда одна или две из точек плоскости сечения принадлежат граням пирамиды. Поехали!

Задача 1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а также пара P и R – они принадлежат грани ABC. Их можно сразу соединять:

Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Но нужна нам не любая, а особенная точка, которая также будет принадлежать и плоскости сечения. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. Заметим, что прямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания, но не только. Она еще лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение. Воспользуемся случаем: найдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC) граней пирамиды.

Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой:

Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды, от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.

Задача 2. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Видим, что точки R и Q принадлежат одной грани пирамиды – SCB – и соединяем их.

Можно, конечно, было бы сразу и точки P и Q соединить – они тоже лежат в одной плоскости – плоскости грани SAB. Но это успеется, пока что нам нужна точка в плоскости грани SAC, да такая, чтобы принадлежала и сечению. Поэтому она должна принадлежать прямой искомого сечения, и прямой, принадлежащей плоскости SAB, то есть быть пересечением таких прямых. Продлим SC до пересечения с прямой QR -и получим такую точку.

Точка X и точка P принадлежат одной плоскости, можем их соединить и получить точку пересечения данной прямой с ребром AC:

Соединяем E с R, P с Q, и получаем сечение.

Задача 3. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Теперь, уже имея опыт, первый шаг выполняем без проблем:

Понимаем, что нет точки в задней грани. Вернее, одна есть – P – но второй не хватает. Аналогично, есть одна точка в нижней грани – в плоскости основания, а второй точки нет. Определим такую точку: пересечем AC и PQ. Обе прямые лежат в плоскости SAC, PQ принадлежит плоскости сечения, поэтому их пересечение будет принадлежать обеим плоскостям:

Теперь имеем две точки в плоскости основания – U и R, и можем смело соединять их:

Прямая UR пересечет ребро AB в точке Z. Теперь маршрут Q-R-Z-P-Q замкнут, можем достраивать сечение:

Задача 4. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R, причем точка P принадлежит грани ASC.

Тут уже задача сложнее. Но пока метод следов позволяет ее решить.

Имеем две точки в одной плоскости – Q и R, и можем их сразу же соединять. AS так же, как и QR, принадлежит плоскости задней грани, поэтому продолжение AS пересечет QR в точке L, также принадлежащей плоскости задней грани.

Но, так как AS принадлежит также и плоскости боковой грани SAC, то точка L лежит с точкой P в одной плоскости и их можно соединять:

LP пересечет ребро AC в точке M, а ребро SC – в точке N, и можно восстанавливать четырехугольник сечения:

Умение делать модель усеченной пирамиды может потребоваться при изготовлении некоторых металлических деталей или строительных конструкций. В основе такой модели лежит модель обычной пирамиды, являющей собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани представляют собой треугольники. У усеченной пирамиды боковыми гранями являются трапеции. По количеству углов усеченные пирамиды, точно так же, как и обычные, бывают треугольными, четырехугольными и т.д.

Как сделать усечённую пирамиду
Как сделать развертку пирамиды
Как построить усеченную пирамиду

- линейка;
- транспортир;
- бумага;
- карандаш;
- клей;
- проволока;
- пассатижи;
- паяльник.

Сделайте развертку полной пирамиды. Начертите основание. Если вы строите правильную треугольную или четырехугольную пирамиду, начертите равносторонний треугольник или квадрат с заданными или произвольными параметрами. Для построения пирамиды с другим количеством граней или для неправильной пирамиды сначала вычислите все стороны и углы основания. Возможно, что для этого понадобится циркуль, некоторые многоугольники удобнее чертить, взяв за основу окружность.

Вычислите высоты боковых граней. У правильных пирамид все они равны между собой и падают из вершины на середину ребра между основанием и данной гранью. Найдите все середины таких ребер и проведите через них перпендикуляры по направлению от основания. Отложите от точек пересечения заданный или произвольный размер высоты и поставьте точку. Соедините эту точку с углами основания, принадлежащими данной грани. У неправильной пирамиды каждая высота вычисляется отдельно.

Настал момент отсечь вершину будущей пирамиды. Определите на высоте одной из граней, через какую точку пройдет секущая плоскость. Проведите через эту точку прямую, параллельную соответствующей стороне основания. Точно такие же отрезки проведите и по другим граням. Верхние части граней можно стереть.

Осталось начертить верхнее основание. Одна из линий у вас уже есть — это один из тех отрезков, которыми вы отсекали верхнюю часть каждой грани. Приняв его за одну из сторон верхнего многогранника, начертите этот многогранник. Он подобен основанию, но меньше по размеру. Развертка готова.

Для того чтобы превратить развертку в выкройку, необходимо начертить припуски на склейку. Начертите по одному припуску у каждой боковой грани, расположив их по часовой стрелке или против. Верхние припуски, по которым будет приклеиваться верхнее основание, делайте не у боковых граней, а у верхней плоскости по всем ее сторонам. Вырежьте усеченную пирамиду, согните ее по всем необходимым линиям и склейте.

Для проволочной модели выкройки ненужно, достаточно развертки. Отрежьте кусок проволоки, равный периметру основания. Согните его в виде многогранника нужной формы и спаяйте концы проволоки. Точно так же сделайте верхнее основание. Нарежьте куски проволоки, равные боковым ребрам. Припаяйте их к основаниям. Подправьте модель, чтобы все ребра были прямыми.

Читайте также: