Как сделать фигуру лиссажу на осциллографе

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 28.08.2024

Осциллограф позволяет определить значение частоты и сдвиг фаз синусоидальных сигналов относительно друг друга. Измерение частоты и сдвига фаз производится сигнальным методом, называемым методом фигур Лиссажу.

Измерение неизвестной частоты синусоидального сигнала при помощи фигур Лиссажу производится следующим образом. Внутренняя развертка в данном методе не применяется; при этом переключатель осциллографов “Диапазоны частот” устанавливается в положение “0” - внутренняя развертка отключается.

Сигнал, частота f_x которого неизвестна, подается на один из входов осциллографа, например на “вход Х”. Сигнал известной частоты f₀ от эталонного генератора подается на другой вход осциллографа - “вход У”. Следовательно, электронный луч осциллографа под действием двух сигналов передвигается по сложной кривой, описывая на экране определенную фигуру - фигуру Лиссажу. Форма этой фигуры зависит от отношения амплитуд, частот и начальных фаз сравниваемых сигналов.

Рис.4г Рис.4д

Образование фигуры Лиссажу на экране осциллографа рассмотрим на примере ряда синусоидальных сигналов, подаваемых на входы Х и У (рис.3). Мы будем последовательно рассматривать положение луча на экране осциллографа в различные моменты времени (рис. 3а); различные моменты времени обозначены цифрами 1-9. В данном случае сигналы имеют одинаковую фазу: начальный момент времени t₁ напряжение V_x=V_y=0. Следовательно, в момент времени t₁ электронный луч попадает в центр экрана (точка 1, рис.3а). Смещение луча вправо или влево осуществляется под действием переменного напряжения V_x(t), изменяющегося с частотой f_x; смещение луча вверх или вниз осуществляется под действием переменного напряжения V_y изменяющегося с частотой f_y; в данном случае частоты f_x и f_y равны друг другу (рис.3а). Предполагается, что если напряжение V_x положительно, то луч смещается к правой пластине, если напряжение V_x отрицательно (например в моменты времени 5,6), то луч смещается влево, если напряжение V_y положительно (например в моменты 2,3), то электронный луч смещается вверх, если напряжение V_y отрицательно (например в моменты времени 5,6), то луч смещается вниз.

В момент времени t₂ за счет напряжения V_x луч смещается вправо, за счет V_y - вверх, поэтому в целом луч перемещается на экране по прямой в первой координатной четверти. В момент времени t₃ луч отклоняется по прямой 1-2-3 на максимальное расстояние. К моменту времени t₄ за счет уменьшения напряжения V_x, V_y луч смещается одновременно влево и вниз, наконец, в момент времени t₄ луч опять находится в центре экрана. В дальнейшем, в момент времени t₅ напряжение V_x и V_y имеют отрицательный знак, поэтому луч сильно смещен одновременно влево и вниз. В момент времени t₇ луч опять находится в центре экрана.

Таким образом, при одинаковой частоте сигналов и одинаковых фазах, фигура Лиссажу представляет собой прямую линию, наклон которой зависит только от соотношения амплитуд сигналов, подаваемых на входы Х и У. В частности, увеличение амплитуда сигнала, подаваемого на вход Х (напряжение V_x), приведет к уменьшению угла ? между осью Х и прямой линией фигуры Лиссажу (рис.4,а, пунктирная линия).

Подадим на вход осциллографа (“вход Х”) сигнал частотой f_x; напряжение V_x (t) изображено на рис.3б; на “вход У” подадим сигнал, частота f_y которого в два раза больше, чем f_x, то есть f_y=2f_x. Начальные фазы сигналов в данном случае совпадают и равны 0: при начальном моменте времени t=0 напряжения V_x=V_y=0.Построение фигуры Лиссажу, получаемой на экране осциллографа, можно произвести с учетом напряжений V_x (t) и V_y(t) в моменты времени t₁, t₂ и т.д. В данном случае на экране получается устойчивая фигура Лиссажу в форме “восьмерки” (рис.3б); стрелками указано движение электронного луча по экрану в различные моменты времени.

Изменение фазы сравниваемых сигналов приводит к изменению формы фигуры Лиссажу. Например, на входы Х и У подаются сигналы V_x(t) и V_y(t) с разными начальными фазами: в момент времени t₁ напряжение V_x=0, а напряжение V_y>0. Частоты сигналов f_x и f_y одинаковы. Построение фигуры Лиссажу по принципу, описанному выше, показывает, что на экране виден наклонный эллипс (рис.3а).

Сравнивая рис.3а и 3в, получаем, что при одинаковых частотах f_x =f_y фигура Лиссажу может быть как прямой линией, так и эллипсом.

Форма фигуры Лиссажу может быть описана аналитически. Пусть на входы Х и У подается синусоидальное напряжение, для простоты одинаковой частоты f₀. Тогда координаты точки отклонения луча на экране (с учетом выражения (1)) будет описываться формулами:

;

(2)

;; ,

где х(t) и у(t) - отклонение луча по горизонтали и вертикали в момент времени t; а и b - амплитудные значения отклонений; ?₀ - сдвиг фаз между исследуемыми сигналами.

Траектория луча на экране осциллографа описывается зависимостью у(х), то есть для получения зависимости у(х) необходимо из уравнений (2) исключить время t. Для этого делаем следующие преобразования:

;

(3)

или . (4)

Возведем выражение (3) в квадрат и умножим на величину sin 2 ?₀, выражение (4) возведем в квадрат. В результате преобразований получим:

;

.

Сложим, получим выражения:

. (5)

Выражение (5) описывает геометрическую фигуру - эллипс. Ориентировка эллипса относительно осей Х и У зависит от значения ?₀.

Для ?₀ = 0 или ?₀ = 180 уравнение приобретает вид:

, ;

, .

В этом случае на экране появляется прямая линия, аналогичная рассмотренной выше (см. рис. 3а).

В случае неравенства частот и фаз на экране осциллографа возникают более сложные фигуры Лиссажу. Фигуры на экране будут неподвижными, если сравниваемые частоты относятся как целые числа и фаза не изменяется.

Для определения отношения частот придерживаются следующего правила.

При измерении частоты неизвестного сигнала частоту эталонного генератора изменяют до тех пор, пока на экране не возникнет одна из фигур Лиссажу, возможно, более простой формы. Ее мысленно пересекают линиями ХХ и УУ, параллельными условным осям Х и У, и подсчитывают число пересечений каждой из линий ХХ и УУ с фигурой Лиссажу, видимой на экране осциллографа. Математический анализ показывает, что для соотношения частот справедливо следующее выражение: или , где f_y, f_x - частоты сигналов, подаваемых на пластины Х и У соответственно; nx, ny - число пересечений линий ХХ и УУ с фигурой Лиссажу.

В частности, для случая (рис.3б) отношение , т. е. ; справедливость расчета подтверждается построением рис. 3б. Аналогично можно доказать, что для фигур, изображенных на рис. 4. г, д отличаются значениями разности фаз между напряжениями сигналов, подаваемых на входы Х и У. Таким образом, подавая на пластины У сигналы эталонной f₀ (известной) частоты, а на пластины Х - сигнал неизвестной частоты f_x, можно, определив отношение , найти значение неизвестной частоты по формуле (6).

При помощи фигур Лиссажу можно измерять разность фаз между двумя периодическими сигналами. Рассмотрим метод измерения разности фаз на примере двух сигналов одинаковой частоты, подаваемых на входы Х и У.

Видно, что сигналы, подаваемые на входы Х и У, представляют собой гармонические колебания и, следовательно, описываются известным уравнением:

,

где U₀ - максимальное значение напряжения - амплитуда колебания; w - круговая (циклическая) частота, равная w=2?f; ?₀ - начальная фаза колебаний в момент времени t=0; (wt+?₀) - фаза колебаний в момент времени t. Поскольку значение синуса может изменяться от -1 до +1, то напряжение сигнала изменяется со временем от -U₀ до +U₀.

Для нашего конкретного случая имеем:

;

.

Обратим внимание на то, что в любой момент времени фазы сигналов U_x и U_y одинаковы; в связи с этим говорят, что разность между сигналами равна нулю, сигналы изменяются с одинаковой фазой.

Для другого случая имеем

то есть разность фаз между сигналами, очевидно, равна ?/2.

Для третьегос лучая, имеем

то есть для данного случая разность фаз между сигналами равна ?/4.

Фигуры Лиссажу, получаемые на экранах осциллографов для различных случаев, представлены на рис. 5. Если сигналы одинаковой частоты изменяются в фазе (разность фаз равна нулю), то на экране будет наклонная линия (рис. 5, а); если сдвиг фаз равен ?/2, на экране будет круг (при одинаковых амплитудах сигналов); если разность фаз находится в пределах 0 4 / 5 4 5 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Рассмотрим перемещение луча при подаче переменных напряжений одновременно на обе пары пластин. Траектория перемещения луча будет иметь вполне определенные формы при различных соотношениях частот. Фигуры, образуемые лучом на экране, называют фигурами Лиссажу. Образование фигур Лиссажу на экране осциллографа рассмотрим на примере ряда синусоидальных сигналов, подаваемых на входы X и Y.

1. Оба сигнала имеют одинаковую частоту и фазу (f₁ = f₂, j₁ = j₂ = 0). Рассмотрим последовательно положение луча в различные моменты времени, разбив один период напряжений на временные интервалы (рис. 16.4). В моменты времени t₀, t₄ и t₈ (U_x = 0 и U_y = 0) луч находится в центре экрана. В моменты времени t₂ и t₆ напряжение обоих сигналов имеет максимальное значение, и луч максимально отклоняется по осям x и y: (U_x = U_mx и U_y = U_my). Таким образом, при одинаковой частоте сигналов и одинаковых фазах луч двигается по наклонной прямой между точками 2 и 6, проходя промежуточные точки 1, 3, 5 и 7. Угол наклона прямой зависит от амплитудных значений U_mx и U_my.

Рис. 17.4 Последовательное положение луча в различные моменты времени

2. Оба сигнала имеют одинаковую частоту, но отличаются по фазе (f₁=f₂, v₁=0, v₂ = /4). Построение фигуры Лиссажу, выполненное аналогично по интервалам времени, приведено на рис. 17.5. Фигура Лиссажу имеет форму наклонного эллипса.

Рис. 17.5 Построение фигуры Лиссажу

Таким образом, фигуры Лиссажу могут быть построены графически и воспроизведены на экране осциллографа. Выше рассмотрены фигуры, дающие устойчивое изображение. Критерием устойчивости изображения является кратность частот двух сигналов (отношение величин частот равно целому числу) и неизменность фазы. Это подтверждается аналитическ

Фигуры Лиссажу представляют собой кривые графики, которые возникают в результате наложения двух гармонических взаимно перпендикулярных колебаний разных частот. Они названы в честь французского физика Жюля Антуана Лиссажу (1822–1880). Позже, например, они сыграли роль в обучении более глубокому пониманию переменных токов с помощью осциллографа .

Их часто используют в эстетических целях. Кривая представляет собой особенно захватывающее зрелище с небольшим отклонением между частотами колебаний, потому что медленно вращающаяся фигура создает трехмерное впечатление. Фигуры Лиссажу можно механически представить с помощью гармонографа .

Оглавление

Математическое описание

Математически это параметрические графики функций вида

Такая функция периодична тогда и только тогда, когда отношение частот

является рациональным , т.е. может быть преобразовано в целую дробь. В этом случае получается замкнутая фигура. В противном случае кривая не является периодической и лежит близко к прямоугольнику . [ - А. Икс , А. Икс ] x [ - А. y , А. y ] , A_ ] \ times [-A_ , A_ ]>

Примечание. На рисунке выше показано изображение, аналогичное осциллографу. Здесь отсутствие согласования двух колебаний не приводит к закрашенному прямоугольнику, поскольку из-за ограниченного по времени послесвечения кинескопа отображается только часть хода кривой.

Амплитуды A _x и A _y масштабируют фигуры только по горизонтали и вертикали соответственно. Внешний вид графика зависит в основном от отношения частот v и фазы f. Если v имеет значение 1, Df = f ₁ - f ₂ приводит к сдвигу фаз между колебаниями. Если v - рациональное число, отличное от 1, Df обычно дается для минимальной разности фаз. Также необходимо, для какой вибрации дается информация.

Изображения разделов для отношения частот 1: n и n: 1 и изображения для отношения частот n ₁ : n ₂ показывают фигуры Лиссажу для различных отношений частот и разностей фаз, в следующем разделе фигуры Лиссажу на осциллографе, а затем объясняются методы измерения фигуры.

Цифры для отношения частот 1: n и n: 1 (отношение амплитуд 1: 1)

Разность фаз Df на следующих рисунках всегда относится к более высокой частоте. Если частота выше по горизонтальной оси, если частота не полностью отрегулирована, создается впечатление вращения вокруг вертикальной оси и, в противном случае, вокруг горизонтальной оси.

Цифры для отношения частот n ₁ : n ₂ (отношение амплитуд 1: 1)

Для соотношений, в которых ни числитель, ни знаменатель не имеют значения 1, Df не достигает максимального значения 2 · p, повторение образца кривой начинается раньше. Этот эффект возникает из-за того, что для формирования фигуры требуется количество колебаний n ₁ первого сигнала и n ₂ колебаний второго сигнала. Соответственно, при определении максимальной разности фаз необходимо учитывать большее количество переходов через нуль.

Df	2: 3	Df	3: 4
0		0
? / ? · ? / ? · p		? / ? · ? / ? · p
? / ? · ? / ? · p		? / ? · ? / ? · p
? / ? · ? / ? · p		? / ? · ? / ? · p
? / ? · p		? / ? · p
5/8 p		5/12 p
? / ? · p		? / ? · p
7/8 p		7/12 p
1 · p		? / ? · p

Фигуры Лиссажу на осциллографе

На этой анимации показана фигура Лиссажу, отображаемая осциллографом с соотношением частот не совсем 2: 3.

При работе с осциллографом фигуры Лиссажу можно получить, если на вход подать гармоническое переменное напряжение для отклонения по оси y и x с отключенным отклонением по времени .

Форма фигур позволяет делать точные выводы о частоте и фазовом положении двух напряжений. Если частоты одинаковы (например, v = 1: 1), разность фаз можно определить по эллиптическому рисунку. При двух почти одинаковых частотах (или соотношении частот, очень близком к одному из простых рациональных соотношений) на экране осциллографа отображается цифра, которая замкнута, но меняется со временем. Таким образом, небольшие разности частот можно измерить с высокой чувствительностью.

Вот почему фигуры Лиссажу были обычным явлением, например, в мастерской теле- и ламповых техников. С другой стороны, своим разнообразием они особенно (но не только) чрезвычайно интересны для технического непрофессионала, особенно в их слегка оживленной форме. Вот почему в искусстве кино и на телевидении мониторы в оформлении сцены часто украшались фигурами Лиссажу, когда среда должна была выглядеть очень современной или футуристической , например, в научно-фантастических фильмах и сериалах.

Пример программы

В следующем разделе программы создается фигура Лиссажу с соотношением частот и фазовым сдвигом . 3 : 4-й p 4-й >>

Считаем амплитуды колебаний в каналах одинаковыми и равными А, а разность фаз обозначим f .

Тогда решение системы даёт:

При Х=0 получаем: Y=A*sin(f),

Т.о. можно найти разность фаз по формуле - f =arcsin(Y/A), где А – амплитуда напряжения, а Y – координата фигуры Лиссажу при пересечении с осью Y. Не трудно показать, что эта формула и при отношении частот 1/2, но фазу надо менять на ведущем генераторе т.е - f ведущ =arcsin(Y/A) , кроме точки 0 градусов, где есть неопределённость 0/0.

В ходе работы преподаватель задаёт студенту значение разности фаз двух колебаний одной частоты, для ввода в генератор 33250А.

По картинке на экране студент вычисляет это значение.

Y

Рис 1. Схема соединения приборов

Рис 2. Соединение генераторов на задней панели.

1.1 Собрать схему по рис.1 и рис.2

Прежде всего, следует выбрать один
генератор в качестве ведущего ("master"), а другой в качестве

ведомого ("slave"). Как показано на рисунке, соединить выход 10

МНz Out ведущего генератора с входом 10 MHz In ведомого, используя для этого высококачественный коаксиальный кабель. При такой конфигурации частоты обоих генераторов будут строго

одинаковы и не будет медленно изменяющегося сдвига фаз

между сигналами обоих приборов. Получить на экране

прямую линию под 45 градусов к оси Х. Для этого амплитуды напряжений генераторов сделать 1В. Цена деления выбирается 500 mV/клетка (CH1=500mV/, CH2=500mV/). На осциллографе переключиться в режим развёртки X-Y. Подстраивая фазу любого генератора (Utility - ? Output Setup- ? Adjust Phase) добиться чтобы прямая шла точно под 45 градусов к оси Х.

Выход одного ведущего генератора должен дать отклонение по вертикали.

После этого установить

фазы генераторов на 0 нажатием на соответствующую кнопку ( Adjust Phase ---> Set 0 Phase). Начальная установка завершена.

1.2 Задание - на частоте 5 МГц (для двух генераторов) установить на ведущем генераторе запаздывание по фазе последовательно 30, 45, 60, 90 градусов.

На другом (ведомом) генераторе фаза остаётся равной 0.

Измерить с помощью осциллографа эти разности фаз косвенным методом по формуле, приведенной в руководстве (А=2 клетки, Y найти как расстояние от начала отсчёта до пересечения с осью Y). Определить абсолютные погрешности измерений.

Картинки из сети, качество желает лучшего, но они достаточно точно отражают суть опыта по визуализации фигур. Зри в корень – основа мудрости поколений.

Немного истории

Ещё в школе на уроках физики я вглядывался в осциллограф, на экране которого, сменяя друг друга, появлялись разные фигуры: сначала простые – линия, парабола, круг, эллипс, потом фигуры становились всё более насыщенные непрерывными волнообразными линиями, напоминающие мне кружева. Автором этого кружевного дива был Жюль Антуан Лиссажу французский физик, член — корреспондент Парижской АН (1879) [1]. Сами фигуры — это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [2]. Думаю, что в те далёкие от современности годы основной заслугой Жюля, кроме конечно накопленных опытом знаний математики и физики, была простая механическая визуализация этих фигур подручными средствами. Захотелось конструировать подобно Жулю максимально просто и наглядно, реализовать его идеи применительно к современной задаче линейных измерений. Но сделать это путём математи